-1 (число)

Мі́нус оди́н, −1 — це ціле число, більше, ніж (−2), і менше, ніж 0. Число −1 — протилежне число для 1, тобто, при додаванні цього числа до 1 в результаті утворюється 0. Найбільше від'ємне ціле число.

← −2 −1 0 →
[[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]] [[{{#expr: (floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}} (число)|{{#switch:{{{1}}}|-1={{#ifexpr:(floor({{{number}}} div 10)) = 0|-1|←}}|10=→|#default={{#expr:(floor({{{number}}} div {{{factor}}})) * {{{factor}}}+({{{1}}}*{{{factor}}} div 10)}}}}]]
Кількісний числівник мінус один
Порядковий числівник -1
(мінус перший)

Алгебричні властивості

Мінус одиниця має ряд властивостей, схожих із властивостями числа 1.

Це можна довести, скориставшись розподільним законом і аксіомою, що 1 є нейтральним елементом:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Тут ми використали той факт, що будь-яке число x помножене на 0 дорівнює 0, що отримується скороченням з рівняння

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.
0, 1, −1, i та − i в комплексній або декартовій площині

Іншими словами,

x + (−1) ⋅ x = 0,

отже (−1) ⋅ x є адитивно оберненим до x, тобто (−1) ⋅ x = −x, що й потрібно було довести.

Квадрат −1

Квадрат −1, тобто −1, помножене на −1, дорівнює 1. Як наслідок, добуток двох від'ємних чисел є додатним.

Алгебричне доведення цього результату почнемо з рівняння

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

Перша рівність випливає з наведеного вище результату, а друга — з визначення −1 як адитивно оберненої до 1: саме це число, додане до 1, дає 0. Тепер, використовуючи розподільний закон, маємо

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

Третя рівність випливає з того факту, що 1 є нейтральним елементом. Але тепер додавання 1 до обох частин цього останнього рівняння означає

(−1) ⋅ (−1) = 1.

Наведені вище аргументи справедливі в будь-якому кільці, концепції абстрактної алгебри, що узагальнює цілі та дійсні числа.

Квадратні корені з −1

Хоча не існує дійсних квадратних коренів з −1, комплексне число i задовольняє i2 = −1, і тому його можна розглядати як квадратний корінь з −1[1][2]. Єдине інше комплексне число, квадрат якого дорівнює −1, — це −i оскільки існує рівно два квадратних корені з будь-якого ненульового комплексного числа, що випливає з основної теореми алгебри. В алгебрі кватерніонів — де основна теорема не застосовується — які містять комплексні числа, рівняння x2 = −1 має нескінченно багато розв'язків.

Піднесення до цілого від'ємного степеня

Піднесення до степеня ненульового дійсного числа можна розширити до цілих від'ємних чисел. Приймемо, що x−1 = 1x, тобто, ототожнимо піднесення до степеня −1 зі знаходженням оберненого числа. Тоді це визначення можна поширити на цілі від'ємні числа, зберігши правило піднесення до степеня xaxb = x(a + b) для дійсних і .

Піднесення до від'ємного цілого степеня можна поширити на обернені елементи кільця, визначивши x−1 як мультиплікативне обернене до x.

Показник −1 біля назви функції, не означає, що слід взяти (поточково) обернені значення цієї функції, а є позначенням оберненої функції. Наприклад, sin−1(x) є позначенням функції арксинуса, а загалом f −1(x) позначає функцію, обернену до f(x).

Використання

Примітки
  1. Imaginary Numbers. Math is Fun. Процитовано 15 лютого 2021.
  2. Weisstein, Eric W. Imaginary Number. MathWorld. Процитовано 15 лютого 2021.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.