Арка

Найбільшого поширення набули такі типи розрахункових схем арок[2]:

Типи розрахункових схем арок в умовах статики

Тришарнірна арка

Двошарнірна арка

Безшарнірна арка

Кожен з типів має свої переваги і недоліки, і вибір тієї чи іншої конструкції визначається інженером-проектувальником виходячи як з вимог до міцності, так і з необхідності застосування тих чи інших матеріалів для арки, архітектурних міркувань, вартості та місцевих умов будівництва. Так, наприклад, тришарнірна арка є статично визначуваною системою, в силу чого подібна конструкція є не так чутливою до температурних впливів і просідань опор. Також тришарнірні аркові конструкції зручні з погляду монтажних робіт і транспортування, так як складаються з двох окремих частин. Однак наявність додаткового шарніра призводить до великої різниці моментів по довжині обох частин, що, відповідно, вимагає додаткової витрати матеріалу. Протилежною їй у цьому плані є безшарнірних арка, яка завдяки затискання п'ят арок в опорах має найсприятливіший розподіл згинальних моментів по довжині і може бути виготовленою з мінімальними перетинами. Але защемлення в опорах, у свою чергу, призводить до необхідності улаштування потужніших фундаментів, арка є чутливою як до переміщень опор, так і до температурних напружень. Найбільшого поширення набула двошарнірна арка. Будучи один раз статично невизначеною системою, вона також має хороший розподіл моментів по довжині і позбавлена необхідності будівництва масивних опор[2].

Схема визначення зусиль в арці

При використанні арок як перекриттів, вони розраховуються у загальному випадку на рівномірно розподілене навантаження (навантаження вид розташованих вище конструкцій перекриттів, снігове навантаження, навантаження від власної ваги арки). При розрахунку будуються епюри зусиль, що виникають у перерізах арки, за якими визначаються найнебезпечніші перерізи. Формули для визначення зусиль у довільному перерізі арки наступні[2]:

1. Згинальний момент

${\displaystyle M_{x}=M_{x}=M_{op}+{M_{x}}^{b}-F_{h}y\!\,}$,

де${\displaystyle ~M_{op}}$ — опорний момент у безшарнірній арці (у дво- або тришарнірній арці він дорівнює нулю)

${\displaystyle ~{M_{x}}^{b}}$ — згинальний момент;

${\displaystyle ~F_{h}}$ — розпір;

${\displaystyle ~x,y}$ — координати перерізу.

Розпір визначається з виразу[2]:

${\displaystyle F_{h}=k{M_{c}}^{b}/f\!\,}$,

де ${\displaystyle ~{M_{c}}^{b}}$ — згинальний момент посередині прольоту;

${\displaystyle ~f}$ — стріла підняття арки;

${\displaystyle ~k}$ — коефіцієнт, що враховує геометричні і фізичні характеристики арки.

2. Поздовжня сила

${\displaystyle N_{x}=-{Q_{x}}^{b}\sin \varphi -F_{h}\cos \varphi \!\,}$,

де ${\displaystyle ~{Q_{x}}^{b}}$ — балкова поперечна сила;

${\displaystyle ~\varphi }$ — кут між дотичною до осі арки у перерізі, який розглядається й горизонталлю.

3. Поперечна сила

${\displaystyle Q_{x}={Q_{x}}^{b}\cos \varphi -F_{h}\sin \varphi \!\,}$.

В основі розрахунку напруженого стану аркових конструкцій лежить розрахунок кривого стрижня, елемента, який відрізняється від прямої балки тим, що має криволінійну вісь (вісь — лінія, що проходить через центр маси поперечних перерізів елемента). З допустимим наближенням дотичні напруження від поперечної сили для кривих стрижнів можна визначати за формулою Журавського[3]:

${\displaystyle \tau ={\frac {QS(z)}{J_{x}b}}\!\,}$,

де ${\displaystyle ~Q=Q(y)}$ — поперечна сила, що діє на балку (${\displaystyle y}$ — поздовжня координата);

${\displaystyle ~S(z)}$ — статичний момент відрізаної площі перерізу на відстані ${\displaystyle z}$ відносно нейтральної осі;

${\displaystyle ~J_{x}}$ — момент інерції перетину елемента відносно центральної осі ${\displaystyle x}$, яка перпендикулярна до площини арки;

${\displaystyle ~b}$ — ширина перерізу елемента на відстані ${\displaystyle z}$ від нейтральної осі.

Відповідно, умова міцності за дотичними напруженнями для кривих стрижнів буде мати такий вигляд[3]:

${\displaystyle \tau _{max}={\frac {Q_{max}S_{max}}{Jb}}\leq [\tau ]\!\,}$.

Напруження в кривому стрижні, що викликаються нормальною силою є нормальними до перерізу та рівномірно розподілені по його площі, тобто[3]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N}{F}}\!\,}$,

де ${\displaystyle ~N}$ — нормальна сила, що діє елемент;

${\displaystyle ~F}$ — площа перерізу елемента.

Гіперболічний закон розподілу нормальних напружень у криволінійному стрижні від дії згинального моменту

Згинальний момент, як і у прямій балці, викликає появу у криволінійному стрижні лише нормальних напружень. Їх розподіл за висотою перерізу визначається за формулою[3]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {z}{\rho }}{\frac {\delta d\varphi }{d\varphi }}E\!\,}$,

де ${\displaystyle ~z}$ — відстань від нейтральної осі до точки, де визначається напруження;

${\displaystyle ~\rho }$ — радіус кривини бруса у точці, що розглядається;

${\displaystyle ~\delta d\varphi }$ — величина зміни кута між суміжними перерізами під дією моменту;

${\displaystyle ~d\varphi }$ — початковий кут між перерізами;

${\displaystyle ~E}$ — Модуль Юнга.

З рівнянь видно, що на відміну від прямої балки, де напруження розподіляються за лінійним законом, у криволінійному стрижні нормальні напруження від згинального моменту розподіляються за гіперболічним законом. З цього випливає декілька важливих висновків, а саме:

• при згині кривого стрижня нейтральна вісь не проходить через центр ваги перерізу;
• напруження у зовнішніх волокнах елементу є меншими, ніж при такому ж згині прямої балки, а у внутрішніх волокнах — більшими;
• ріст напружень за висотою перерізу відбувається з різною інтенсивністю. Найбільшої величини напруження досягають на внутрішньому боці і швидко зменшуються углиб.

Якщо конструкція працює у статичному режимі й виготовлена з пластичного матеріалу не схильного до крихкого руйнування, то перенапруження на краю перерізу з внутрішнього боку можуть бути безпечними[3].

Формула нормальних напружень від згинального моменту буде мати вигляд[3]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {M}{S}}\cdot {\frac {z}{\rho }}\!\,}$,

а формула повних нормальних напружень у кривому стрижні[3]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N}{F}}+{\frac {M}{S}}\cdot {\frac {z}{\rho }}\!\,}$.

Радіус кривини нейтрального шару визначається з рівняння[3]:

${\displaystyle r={\frac {F}{\int \limits _{F}{\frac {dF}{\rho }}}}\!\,}$.

З формул випливає, що чим меншим є відношення радіуса кривини стрижня до висоти його перерізу, тим у більшій мірі робота кривого стрижня відрізняється від роботи прямої балки.

Деформації, що виникають в кривих стрижнях, у загальному випадку визначаються наступними виразами[3]:

${\displaystyle {\begin{matrix}f=\int \limits _{S}{\frac {MdS}{EJ}}\cdot {\frac {\delta M}{\delta P}}+\int \limits _{S}{\frac {NdS}{EF}}\cdot {\frac {\delta N}{\delta P}}\\\theta =\int \limits _{S}{\frac {MdS}{EJ}}\cdot {\frac {\delta M}{\delta M_{0}}}+\int \limits _{S}{\frac {NdS}{EF}}\cdot {\frac {\delta N}{\delta M_{0}}}\end{matrix}}{\Bigg \}}\!\,}$

де ${\displaystyle ~f}$ — лінійне переміщення центру мас перерізу;

${\displaystyle ~\theta }$ — кут повороту перерізу.

У більшості випадків впливом кривини при визначенні деформацій можна знехтувати[3].