Гауссові числа

Формальне визначення:

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$.

Множина ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ містить безліч звичайних цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ і являє собою його розширення[1].Сума, різниця і добуток гауссових чисел є гауссовими числами; така структура алгебри називається кільцем[2].Ввести в цьому комплексному кільці впорядкованість неможливо. Відзначимо також, що спряжене до гауссового числа ${\displaystyle a+bi}$ є також гауссове число ${\displaystyle a-bi.}$

Кожне гауссове число ${\displaystyle z=a+bi}$ задовольняє квадратному рівнянні:

${\displaystyle (z-a)^{2}+b^{2}=0}$

Тому гауссове число є ціле алгебраїчне число.

Норма для гауссового числа ${\displaystyle a+bi}$ визначається як квадрат його модуля[3]:

${\displaystyle N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}}$

Властивості норми[4]:

• Норма дорівнює нулю тільки для нуля. В інших випадках норма — додатне ціле число.
• Норми спряжених чисел збігаються.
• Норма звичайного цілого числа дорівнює його квадрату.
• Якщо норма непарна, то вона має вигляд ${\displaystyle 4n+1}$, тобто при діленні його на ${\displaystyle 4}$ виходить залишок ${\displaystyle 1}$. Ніяке гауссове число не може мати норму виду ${\displaystyle 4n+3.}$

Норма, як і модуль, має важливу властивість мультиплікативності:

${\displaystyle N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)}$

Звідси випливає, що зворотніми елементами кільця є ті елементи, у яких норма дорівнює ${\displaystyle 1}$, тобто ${\displaystyle \{1;-1;i;-i\}}$.

Два гауссових числа називаються асоційованими, якщо одне виходить з іншого множенням на дільник одиниці. Легко побачити, що асоційованість — відношення еквівалентності. Приклад: гауссові числа ${\displaystyle 1+i}$ и ${\displaystyle 1-i}$ асоційовані, оскільки:

${\displaystyle 1+i=i(1-i)}$

У кожного ненульового гауссового числа є три асоційованих з ним. Норми всіх чотирьох асоційованих між собою чисел збігаються.

Ділення націло гауссових чисел визначається звичайним чином: Вимова: один з трьох рівносильних варіантів.

• ${\displaystyle u}$ ділиться на ${\displaystyle v;}$
• ${\displaystyle v}$ ділить ${\displaystyle u;}$
• ${\displaystyle v}$ — дільник ${\displaystyle u.}$

Використовуються традиційні терміни: ділене або кратне (${\displaystyle u}$), дільник (${\displaystyle v}$) та частка від ділення (${\displaystyle q}$). Кількість дільників гауссового числа завжди скінчене, кількість кратних нескінченно.

Приклад: число ${\displaystyle 2}$ ділиться націло на ${\displaystyle ~1+i}$, тому що ${\displaystyle ~2=(1+i)(1-i)}$.

Всі гауссові числа діляться на дільники одиниці, тому будь-яке гауссове число, відмінне від дільників одиниці, має як мінімум ${\displaystyle 8}$ дільників: ${\displaystyle 4}$ дільника одиниці і ${\displaystyle 4}$ їх добутку на саме це число. Ці подільники називаються тривіальними[5].

Ділення націло в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ за своїми властивостями схоже на аналогічне ділення цілих чисел. Деякі специфічні для гауссових чисел особливості[6]:

• Якщо гауссове число ${\displaystyle z}$ ділиться націло на звичайне ціле число, то на це ціле число діляться як дійсна, так і уявна частина ${\displaystyle z.}$
• Якщо ${\displaystyle u|v}$ и ${\displaystyle v|u}$, то ці числа асоційовані.
• Якщо ${\displaystyle u|v}$, то будь-яке з 3 чисел, асоційованих з ${\displaystyle v,}$ ділиться на будь-яке з ${\displaystyle 3}$ чисел, асоційованих з ${\displaystyle u}$.
• Якщо ${\displaystyle u}$ ділиться на ${\displaystyle v\;(u=vq)}$, то спряжене до діленого числа ${\displaystyle {\overline {u}}}$ ділиться на спряжене до дільника ${\displaystyle {\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}}).}$
• Всі дільники гауссового числа ${\displaystyle z}$ є також дільниками його норми ${\displaystyle N(z)=z\cdot {\overline {z}}.}$
• Норма гауссового числа парна тоді і тільки тоді, коли це число ділиться на ${\displaystyle ~1+i.}$
• Якщо ${\displaystyle v|u}$, то і норма діленого, в силу мультиплікативності, ділиться націло на норму дільника. При цьому:

${\displaystyle N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}}$

У кожного гауссового числа ${\displaystyle z}$ є ${\displaystyle 4}$ кратних з тією ж нормою (і, відповідно, тим же модулем) — це саме ${\displaystyle z}$ та асоційовані з ним ${\displaystyle 3}$ числа, які виходять послідовним множенням ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle z;\ iz;\ -z;\ -iz}$

Але множення на ${\displaystyle i}$ означає на комплексній площині поворот радіус-вектора числа на 90° проти годинникової стрілки, причому модуль результату буде тим же. Таким чином, всі 4 числа утворюють рівносторонній хрест (виділено червоним на малюнку), центр і вершини якого кратні ${\displaystyle z}$. Послідовно зрушуючи цей хрест на всі боки на одну з 4 величин, асоційованих з ${\displaystyle z}$, ми одержуємо на всій площині квадратну решітку, всі вузли якої (вершини квадратів) кратні ${\displaystyle z}$. Зворотньо, будь яке кратне ${\displaystyle z}$ збігається з одним з вузлів решітки. Ширина кожного квадрата решітки дорівнює ${\displaystyle |z|.}$ Далі для стислості ця решітка буде називатися «решіткою кратних» (або, якщо потрібне уточнення, «-решітка кратних»).

Приклад: на малюнку одним з вузлів решітки є число ${\displaystyle ~4-2i}$, кратне ${\displaystyle ~1+2i}$:

${\displaystyle 4-2i=-2i(1+2i).}$

Просте гауссове число — це ненульове число, яке не має інших дільників, крім тривіальних. Число, що не є простим, називається складовим. При цьому дільники одиниці, подібно натуральної одиниці, не вважаються ні простими, ні складовими числами[7].

Деякі властивості простих гауссових чисел:

• Якщо ${\displaystyle a+bi}$ — просте гауссове число, то і спряжене до нього гауссове число ${\displaystyle a-bi}$ також є простим.
• Якщо просте гауссове число є дільником добутку гауссових чисел, то воно є дільником принаймні одного із співмножників.
• Норма будь-якого простого гауссового числа, крім асоційованих з ${\displaystyle 1+i}$, завжди непарна і тому дорівнює ${\displaystyle 4n+1.}$

Натуральне просте число може не бути гауссовим простим числом. Наприклад, числа 2 і 5 в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ вже не прості:

${\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)}$

Якщо гауссове число ${\displaystyle w}$ є дільником для двох гауссових чисел ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, воно називається їх спільним дільником. Множина спільних дільників двох чисел завжди містить 4 дільники одиниці; якщо інших спільних дільників немає, ці числа називаються взаємно простими[8].

Відзначимо, що якщо норми гауссових чисел ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ взаємно прості як цілі числа, то і самі числа ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ взаємно прості як гауссові числа. Зворотнє невірно: норми взаємно простих гауссових чисел можуть мати спільні дільники — наприклад ${\displaystyle 5+2i}$ і ${\displaystyle 5-2i}$ взаємно прості, але їх норми збігаються і тому не взаємно прості.

Зазначимо дві властивості, аналогічні властивостям цілих чисел.

• Якщо кожне з двох гауссових чисел ${\displaystyle u,v}$ взаємно просто з гауссовим числом ${\displaystyle w,}$ то і їх добуток ${\displaystyle uv}$ теж взаємно просто з ${\displaystyle w.}$
• Якщо ${\displaystyle z|uv}$ і при цьому ${\displaystyle z}$ взаємно просто з ${\displaystyle u}$, то[9] ${\displaystyle z|v.}$

Гаус вказав визначальні ознаки простого числа в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$[10].

Наведемо приклади простих гауссових чисел.

• До першої частини критерію: ${\displaystyle \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.}$
• До другої частини критерію: ${\displaystyle 1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.}$

Деякі джерела для більшої ясності поділяють другу частину критерію на дві[11]:

1. Числа, асоційовані з ${\displaystyle 1+i.}$ Їх норма дорівнює 2.
2. Числа, норма яких є просте натуральне число вигляду ${\displaystyle 4n+1.}$

Сам Гаус такого поділу не робив[12].

Наслідки.

• Ніяке просте натуральне число вигляду ${\displaystyle 4n+1}$ не може бути простим гауссовим числом. Прості натуральні числа виду ${\displaystyle 4n+3}$ є і простими гауссовими числами.
• Норма простого гауссового числа є або простим натуральним числом, або квадратом простого натурального числа[13].
• Просте натуральне число вигляду ${\displaystyle 4n+1}$ можна представити як добуток спряжених простих гауссових чисел ${\displaystyle (a+bi)(a-bi)}$ або, що те ж саме, як суму квадратів ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Цей факт відомий як Теорема Ферма — Эйлера. Саме при дослідженні даної теми, а також теорії біквадратичних лишок, Гаус з успіхом застосував цілі комплексні числа. Навпаки, якщо просте натуральне число можна подати у вигляді суми натуральних квадратів, то в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ воно складене і розкладається на два спряжених гауссових простих.
• Кожне просте гауссове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа[14]. Це означає, що розкладаючи натуральні прості на гауссові множники, ми отримаємо всі гауссові прості.

В ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ має місце аналог основної теореми арифметики: кожне гауссове число, що не є нулем або дільником одиниці, розкладається на прості множники, причому це розкладання однозначно з точністю до порядку і асоційованості множників[15].

Приклад: ${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).}$ Множники цих двох, по виду різних, розкладів попарно асоційовані: ${\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),}$ так що однозначність не порушується.

Щоб практично розкласти гауссове число ${\displaystyle z}$ на прості множники, можна використовувати наведену вищу властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми. При цьому норма містить також «зайві» прості множники, відповідні спряжені до ${\displaystyle z}$ на прості множники, можна використовувати наведену вище властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми.

Таким чином, почати слід з розкладання норми числа ${\displaystyle z}$ на прості натуральні множники[16].

1. Множник 2, якщо він присутній в розкладанні норми, розкладається як${\displaystyle (1+i)(1-i)}$. Слід включити в результуюче розкладання ті з цих множників (у відповідній мірі), на які ${\displaystyle z}$ ділиться націло.
2. Крім 2, інші множники норми — непарні. Множник виду ${\displaystyle 4n+3}$ є простим гауссовим числом, тому він ділить не тільки норму${\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}$, але і саме ${\displaystyle z.}$ Але тоді цей множник ділить і спряжене число ${\displaystyle {\overline {z}}}$. Звідси випливає, що множник виду ${\displaystyle 4n+3}$ входить в розкладання норми завжди в парній степені, а в розкладання самого ${\displaystyle z}$ — в степені, вдвічі меншою.
3. Множник виду ${\displaystyle 4n+1}$ можна розкласти на добуток спряжених простих гауссових чисел (або, що те ж саме, на суму квадратів натуральних чисел). І тут слід діленням з'ясувати, який із співмножників відноситься до початкового числа, а який — до спряженого.

Приклад. Розкладемо на прості множники ${\displaystyle 9+12i.}$ Норма цього числа дорівнює 225, розкладемо її на прості натуральні множники: ${\displaystyle ~225=3^{2}\cdot 5^{2}.}$За попереднім, ${\displaystyle ~5=(2-i)(2+i).}$ Перевіркою переконуємося, що ${\displaystyle 9+12i}$ ділиться тільки на ${\displaystyle ~2+i}$ и не ділиться на ${\displaystyle ~2-i.}$ Частка від ділення ${\displaystyle 9+12i}$ на ${\displaystyle ~3(2+i)}$ дорівнює ${\displaystyle ~2+i,}$ тому остаточно отримуємо:

${\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}}$

Поняття порівняння по модулю визначається в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ аналогічно тому, як це робиться для цілих чисел:

Властивості порівнянь в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ в основному такі ж, як у цілих чисел. Відношення порівнянності є відношення еквівалентності, тому ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ розбивається на непересічні класи лишок — кожен такий клас містить всі порівнянні один з одним (по заданому модулю) гауссові числа. Для класів, як у випадку цілих чисел, можна визначити додавання і множення, так що виходить кільце лишок по гауссовому модулю.

Приклад. Візьмемо як модуль порівняння ${\displaystyle 1+i}$. Тоді ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ розбивається на два класи лишок: числа ${\displaystyle a+bi}$, у яких ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ однакової парності, потраплять в один клас (що містить кратні модуля), а числа з різною парністю ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$— в іншій.

У гауссового порівняння є деякі особливості. Наприклад, якщо для цілих чисел по модулю 3 існують 3 класу лишок з представниками ${\displaystyle 0;\ 1;\ 2,}$ то для гауссових чисел за тим же модулю кількість класів значно більше. Їх представники:

${\displaystyle 0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i}$

Як виявив Гаус, кільце лишок по модулю ${\displaystyle a+bi}$ містить ${\displaystyle ~N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$ елементів[17]. Цей факт змушує модифікувати деякі класичні теореми. Наприклад, мала теорема Ферма для цілих чисел стверджує, що ${\displaystyle (a^{p}-a)}$ ділиться на ${\displaystyle p}$ для будь-якого простого ${\displaystyle p}$ і натурального ${\displaystyle a}$. Для гауссових чисел це невірно, навіть якщо обмежитися натуральними значеннями ${\displaystyle p}$ ; наприклад, для цілих чисел ${\displaystyle a^{3}-a}$ завжди ділиться на 3, а для гауссових ${\displaystyle i^{3}-i=-2i}$, і це значення на 3 не ділиться. Модифікований аналог малої теореми Ферма формулюється в такий спосіб: Перевіримо на тому ж прикладі з ${\displaystyle w=3;u=i.}$ Отримуємо: ${\displaystyle ~(i^{9}-i)=0}$ — ділиться на 3.

Назвемо клас лишок по модулю ${\displaystyle w,}$ містить число ${\displaystyle u,}$ оборотним, якщо порівняння ${\displaystyle ~ux\equiv 1{\pmod {w}}}$ має рішення відносно ${\displaystyle x.}$ Клас оборотний тоді і тільки тоді, коли гауссові числа${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle w}$ взаємно прості. Зокрема, якщо модуль порівнянь ${\displaystyle w}$ — гауссове просте число, то кожен ненульовий клас лишок має оборотний елемент, а це означає, що класи лишок по простому модулю в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, як і в ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ утворюють поле.

Введемо аналог функції Ейлера для гауссових чисел. Визначення для цілих чисел не годиться хоча б тому, що міститься в ньому вираз «від ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$» не має сенсу для комплексних чисел. Нове визначення:

Визначена таким чином функція, як і її прототип для цілих чисел, мультиплікативна, тому достатньо знати її значення для простих чисел і їх натуральних степенів. Якщо ${\displaystyle z}$ — просте гауссове число, то:

${\displaystyle \varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1)}$

Приклад: ${\displaystyle \varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.}$

Тепер можна узагальнити наведену в попередньому розділі малу теорему Ферма на випадок довільного (не обов'язково простого) модуля порівняння, тобто привести аналог теореми Ейлера:

Розглянемо для прикладу порівняння по модулю ${\displaystyle w=1+2i.}$ Як сказано в розділі про геометричному поданні подільності, можна розбити комплексну площину на квадрати, так, що вузли цієї решітки (вершини квадратів) представляють всілякі комплексні кратні ${\displaystyle ~1+2i.}$ Тоді, за визначенням, числа можна порівняти по модулю, якщо їх різниця збігається з одним з вузлів решітки кратних.

Кожен квадрат решітки виходить з будь-якого іншого квадрата зрушенням (переносом) на величину, кратну ${\displaystyle w,}$ тому різниця будь-якої точки квадрата і результату її зсуву теж кратна ${\displaystyle w.}$ Звідси випливає остаточний висновок:

Наприклад, можна порівняти всі центри квадратів, або всі середини їх відповідних сторін тощо

У кільці ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ можна визначити ділення із залишком (на будь яке ненульове гауссове число), вимагаючи, щоб норма залишку була менше норми дільника[18]:

Нескладно показати, що як частку від ділення із залишком можна взяти гауссове число, найближчим до частки від звичайного ділення комплексних чисел[19].

Необхідно відзначити, що умова «норма залишку менше норми дільника» недостатньо для того, щоб гарантувати однозначність залишку від ділення. В ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, на відміну від ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, залишок неоднозначний. Наприклад, ${\displaystyle ~7+2i}$ можна розділити на ${\displaystyle ~3-i}$ трьома способами:

${\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)}$

Можна гарантувати тільки те, що всі залишки потрапляють в один клас залишок по модулю дільника.

Приклад. Поділимо із залишком ${\displaystyle 11+10i}$ на ${\displaystyle 4+i}$. Спочатку знайдемо частку від звичайного комплексного ділення:

${\displaystyle {\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i}$

Найближче до результату гауссове число є ${\displaystyle 3+2i,}$ тоді залишок дорівнює ${\displaystyle ~11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.}$ В результаті отримуємо:

${\displaystyle 11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i}$

З визначення поділу із залишком ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$ слідує, що ${\displaystyle ~|r|=|u-vq|,}$ тобто модуль залишку є відстань між комплексними числами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle vq.}$ Іншими словами, ${\displaystyle |r|}$ є відстань від діленого до одного з вузлів ${\displaystyle v}$-решітки кратних. Вимога «норма залишку менше норми дільника» еквівалентно умові ${\displaystyle |r|<|v|}$. Звідси випливає:

У наведеному вище прикладі ділення ${\displaystyle ~7+2i}$ на ${\displaystyle ~3-i}$ найближчими до діленого є кратні дільника, що утворюють вершини квадрата решітки, що містить ділене:

${\displaystyle 7+i=(3-i)(2+i)}$

${\displaystyle 4+2i=(3-i)(1+i)}$

${\displaystyle 8+4i=(3-i)(2+2i)}$

Всі вони знаходяться від діленого на відстані менше, ніж ${\displaystyle ~|v|={\sqrt {10}}.}$ Четверта вершина квадрата ${\displaystyle ~5+5i}$ віддалена від діленого більше ніж на ${\displaystyle ~{\sqrt {10}}.}$ Тому дана задача поділу із залишком має три рішення.

У загальному випадку, провівши з вершин квадрата ${\displaystyle v}$-решітки кратних дуги радіусом ${\displaystyle |v|}$, ми отримали фігуру, показану на малюнку. Якщо ділене знаходиться в центральній області (червона зона), воно віддалене від усіх вершин менш ніж на ${\displaystyle |v|}$, і поділ із залишком може бути виконано чотирма способами. Якщо ділене знаходиться в одному з «пелюсток» (синя зона), то одна з вершин відпадає, і число рішень дорівнює трьом. Для білої зони отримуємо два рішення. Нарешті, якщо ділене збігається з однією з вершин, то залишок дорівнює нулю, і рішення єдино.

Кільце гауссових чисел є евклідовим, і в ньому завжди можна визначити найбільший спільний дільник, визначений однозначно з точністю до дільників одиниці[20].

Еквівалентне визначення: НСД${\displaystyle (u,v)}$ є той загальний дільник ${\displaystyle u,v}$, у якого норма максимальна[21].

Властивості НСД

• Якщо відомий деякий НСД, то будь-яка з трьох чисел, асоційованих з ним, також буде НСД. Зокрема. якщо один з НСД — дільник одиниці, то такими ж будуть і інші три НСД.
• Гауссові числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх НСД є дільник одиниці.
• Має місце аналог співвідношення Безу[22]:

Іншими словами, найбільший спільний дільник двох гауссових чисел можна завжди уявити як лінійну комбінацію цих чисел з гауссовими коефіцієнтами.

• Слідство співвідношення Безу: якщо гауссові числа ${\displaystyle u,v}$ взаємно прості, то рівняння ${\displaystyle ~xu+yv=1}$ відносно ${\displaystyle x,y}$ має рішення в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i].}$ Замість 1 в наведеному рівнянні може стояти будь-який інший дільник одиниці, теорема при цьому залишиться вірною.

Для визначення НСД в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ зручно використовувати алгоритм Евкліда, цілком аналогічний вживаному для цілих чисел. НСД виходить в цій схемі як останній ненульовий залишок[23]. Алгоритм Евкліда можна також використовувати для знаходження коефіцієнтів ${\displaystyle x,y}$ в співвідношенні Безу.

Приклад 1. Знайдемо НСД для ${\displaystyle 32+9i}$ і ${\displaystyle 4+11i.}$

Крок 1: ${\displaystyle 32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i}$ (розділили з залишком перше число на друге): Крок 2: ${\displaystyle 4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i}$ (розділили з залишком попередній дільник на залишок попереднього кроку): Крок 3: ${\displaystyle 2-5i=(3-i)(1-i)-i}$ (та сама дія): Крок 4: ${\displaystyle 3-i=(-i)(1+3i)}$ (та сама дія, розподіл виконується без остачі)

Відзначимо, що на кожному кроці норма залишку монотонно зменшується. Останній ненульовий залишок дорівнює ${\displaystyle -i}$, це дільник одиниці, тому робимо висновок, що досліджувані числа взаємно прості.

Приклад 2. Знайдемо НСД для ${\displaystyle 11+3i}$ и ${\displaystyle 1+8i.}$

Крок 1: ${\displaystyle 11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i}$

Крок 2: ${\displaystyle 1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)}$

Крок 3: ${\displaystyle 2-4i=(-1+2i)(-2)}$ (розподіл виконується без остачі)

Останній ненульовий залишок дорівнює ${\displaystyle -1+2i}$, це і є шуканий НСД. Послідовно підставляючи замість лівих частин рівностей праві (починаючи з передостанньої рівності, від низу до верху), ми отримаємо співвідношення Безу для НСД:

${\displaystyle -1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)}$

З критерію Гауса випливає, що просте натуральне число вигляду ${\displaystyle 4n+1}$ можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, причому єдиним способом. Приклад: ${\displaystyle ~29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}.}$

Розкладання натуральних чисел іншого виду не завжди можливо — наприклад, ${\displaystyle 15;19;27;103}$ і інші числа виду ${\displaystyle 4n+3}$ можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Складові числа можуть також мати більше одного варіанту розкладу, наприклад: ${\displaystyle ~65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.}$ Загальна теорема: натуральне число можна подати у вигляді суми двох квадратів тоді і тільки тоді, коли в його канонічному розкладанні всі прості множники виду ${\displaystyle 4n+3}$ входять в парних степенях.

Приклад: ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$ можна представити у вигляді суми квадратів, тому що число 3 (як і 7) входить в нього з непарним степенем. Але ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2}}$ уявити можна: ${\displaystyle 245=7^{2}+14^{2}.}$

Число представлень ${\displaystyle \rho (m)}$ натурального числа ${\displaystyle m}$ у вигляді суми квадратів (але, що те ж саме, число гауссових чисел з нормою ${\displaystyle m}$) можна визначити наступним чином[25]. Розкладемо ${\displaystyle m}$ на прості натуральні множники:

${\displaystyle m=2^{\lambda }p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{r}^{\lambda _{r}}q_{1}^{\mu _{1}}q_{2}^{\mu _{2}}\dots q_{s}^{\mu _{s}}}$

Тут ${\displaystyle p_{i}}$ — множники виду ${\displaystyle 4n+1,}$ а ${\displaystyle q_{j}}$ — множники виду ${\displaystyle 4n+3.}$ Тоді можливі 3 випадки .

1. Якщо хоча б один показник степеня ${\displaystyle \mu _{j}}$ непарний, число ${\displaystyle m}$ не може бути представлено у вигляді суми квадратів.
2. Нехай всі ${\displaystyle \mu _{j}}$ парні. Остаточна формула залежить від парності ${\displaystyle \lambda _{i}.}$ Якщо всі вони теж парні, то формула має вигляд:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+1]}$

1. Якщо не всі ${\displaystyle \lambda _{i}}$ парні, то формула трохи відрізняється:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)}$

Піфагорова трійка — це одне з цілочисельних рішень рівняння:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

Загальне рішення рівняння залежить від двох цілих параметрів ${\displaystyle m,n}$:

${\displaystyle x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}}$

Для генерації піфагорових трійок можна використовувати такий прийом. Нехай ${\displaystyle z=a+bi}$ — довільне гауссове число, у якого обидва компонента ${\displaystyle a,b}$ ненульові. Звівши це число в квадрат, одержимо деяке інше гауссове число ${\displaystyle ~c+di.}$ Тоді трійка ${\displaystyle ~\{|c|;|d|;N(z)\}}$ буде піфагоровою.

Приклад: для вихідного числа ${\displaystyle ~z=17+12i}$ отримаємо пифагорову трійку: ${\displaystyle ~(145;408;433).}$

Рішення багатьох діофантових рівнянь вдається знайти, якщо залучити апарат гауссових чисел. Наприклад, для рівняння${\displaystyle ~x^{2}+y^{2}=2z^{2}}$ нескладні перетворення дають два типи цілих взаємно простих рішень[26], залежать від цілих параметрів${\displaystyle a,b}$:

1. ${\displaystyle x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}}$
2. ${\displaystyle x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}}$

У 1850 році Віктор Лебег, використовуючи гауссові числа, досліджував рівняння ${\displaystyle ~x^{2}+1=y^{n}}$ і довів його нерозв'язність в натуральних числах. Іншими словами, серед натуральних чисел виду ${\displaystyle ~n^{2}+1}$ немає жодного повного куба чи іншого степеня вище другого.