Розподіл Фреше

Єдиний параметр Фреше ${\displaystyle \alpha }$ має стандартизований момент

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\,dt,}$

(з ${\displaystyle t=x^{-\alpha }}$) визначений тільки при ${\displaystyle k<\alpha }$:

${\displaystyle \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)}$

де ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$ це Гамма-функція.

Зокрема:

• Для ${\displaystyle \alpha >1}$ математичне сподівання дорівнює ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• Для ${\displaystyle \alpha >2}$ в дисперсія становить ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.}$

Квантиль ${\displaystyle q_{y}}$ порядку ${\displaystyle y}$ можна виразити оберненням функції розподілу,

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

Зокрема, медіана - це:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.}$

Мода розподілу ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.}$

Особливо для 3-параметричного розподілу Фреше, перший квартиль дорівнює ${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$, а третій квартиль ${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.}$

Також квантили для середнього та режиму:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).}$

Моделювання кумулятивною функцією розподілу Фреше екстремальних одно-денних дощів

• В гідрології, розподіл Фреше застосовується для моделювання екстремальних явищ, таких як річна максимальна одноденна кількість опадів і річкового стоку[4]. Блакитний малюнок, зроблений на ПЗ CumFreq ілюструє моделювання розподілом Фреше річного денного максимуму опадів в Омані, на малюнку також показано 90% довірчий інтервал побудований на основі біноміального розподілу. Кумулятивні частоти спостережень кількости опадів представлені ґрафіком позицій в рамках сукупного частотного аналізу.

Однак, здебільшого в гідрології підгонку розподілу здійснюють через узагальнений розподіл екстремальних значень, що дозволяє уникнути припущення про відсутність нижньої межі розподілу (як того вимагає розподіл Фреше). ^{[джерело?]}

• Один тест для оцінки асимптотичної залежности чи незалежности багатовимірного розподілу полягає у перетворенні даних в стандартні відособлення Фреше за допомогою перетворення ${\displaystyle Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})}$ а потім відображення з картезіанських до псевдо-полярних координат ${\displaystyle (R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))}$. Значення ${\displaystyle R\gg 1}$ відповідають граничним даним, для яких принаймні один компонент екстремальний, тоді як ${\displaystyle W}$ близькі до 1 або 0 означає, що тільки один компонент екстремальний.

• Якщо ${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$ (Рівномірний розподіл (безперервне)) тоді ${\displaystyle m+s(-\log(X))^{-1/\alpha }\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ тоді ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,ks,km+b)\,}$
• Якщо ${\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)\,}$ і ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\,}$ тоді ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)\,}$
• Функція розподілу розподілу Фреше є розв'язком рівняння максимального постулату стабільности
• Якщо ${\displaystyle X\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m=0)\,}$ тоді обернена випадкова велчина має розподіл Вейбулла: ${\displaystyle X^{-1}\sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =s^{-1})\,}$

• Розподіл Фреше є максимальним стабільним розподілом
• Фреше розподілена випадкова величина зі знаком мінус є мінімальним стабільним розподілом

• Type-2 Gumbel distribution
• Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
• CumFreq (application software for probability distributions including Fréchet)

• Fréchet, M., (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum." Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
• Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180–190.
• Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.
• Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000) Extreme value distributions: theory and applications, World Scientific. ISBN 1-86094-224-5

• An application of a new extreme value distribution to air pollution data (англ.)
• Wave Analysis for Fatigue and Oceanography (англ.)