Слабка локалізація

Можливі траєкторії електронів у невпорядкованих системах

Слабка локалізація відбувається через інтерференцію електрона самого з собою завдяки можливості його руху в одну і ту ж точку різними траєкторіями.

До виявлення ефектів слабкої локалізації вважалося, що квантово-механічні явища інтерференції існують в основному за руху електронів у монокристалах. У першу чергу, це дифракція електронів[10]. Однак з'ясувалося, що ці явища не тільки існують у невпорядкованих системах, але й можуть посилюватися в таких системах[1][5]

На відміну від кристалів, де потенціал поля, в якому рухаються електрони, змінюється періодично, у невпорядкованих середовищах він змінюється випадковим чином. Електрони, енергія яких менша від максимальних значень потенціалу, локалізуються в потенціальних ямах, утворених випадковим полем. Якщо довжина локалізації невелика в порівнянні з відстанями між центрами локалізації, електрон у потенціальній ямі перебуває доти, поки теплові коливання атомів не перекинуть його в сусідню потенціальну яму. Таке перенесення електронів називається стрибковим транспортуванням[11]. Прикладом матеріалів, у яких здійснюється стрибкове транспортування, є аморфні напівпровідники[12].

Електрони з вищими енергіями не локалізуються у випадкових потенціальних ямах, однак розсіюються на них. Можна припустити, що середовище складається з хаотично розташованих силових центрів, на кожному з яких електрон розсіюється ізотропно, тобто, може з однаковою ймовірністю відхилитися на будь-який кут. Якби електрон був класичною частинкою, то ймовірність виявити електрон, розсіяний на хаотично розташованих силових центрах, не залежала б від кута розсіяння. Однак, урахування корпускулярно-хвильового дуалізму змінює картину[1].

Припустимо, що за час ${\displaystyle t\ll \tau _{\varphi }}$ (${\displaystyle \tau _{\varphi }}$ — час збою фази) електрон, розсіюючись на силових центрах, наприклад, домішках, переходить із початкової точки 0 в точку з координатою ${\displaystyle r}$. Він може потрапити в цю точку різними шляхами. Згідно із загальними принципами квантової механіки ймовірність цього процесу

${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}=\left|\sum A_{i}\right|^{2}=\sum |A_{i}|^{2}+\sum A_{i}A_{j}}$, ${\displaystyle i\neq j}$.

У цій формулі ${\displaystyle A_{i}}$ — амплітуда ймовірності руху електрона по ${\displaystyle i}$-тій траєкторії.

Перша сума у виразі для ${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}}$ є сумою ймовірностей проходження електроном кожної траєкторії, друга описує інтерференцію амплітуд. Інтерференція більшості амплітуд не дає внеску в ${\displaystyle p{\bigl (}r,t{\bigr )}}$, оскільки їхні фази пропорційні довжинам траєкторій і через різницю цих довжин взаємно гасяться. Винятком є лише замкнені траєкторії.

Слабка локалізація виникає завдяки можливості руху електронів по замкнених траєкторіях розсіяння у взаємно протилежних напрямках

Розглянемо замкнені траєкторії, тобто траєкторії, якими електрон повертається у початкову точку. Розіб'ємо такі траєкторії на пари з однаковим набором розсіювальних центрів, але з протилежними напрямками руху. Ймовірність, що електрон, розсіявшись на наборі силових центрів, повернеться в початкову точку

${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=\ |A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+2\,|A_{1}A_{2}|}$, 

де ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ — амплітуди ймовірностей руху електронів замкненою траєкторією в протилежних напрямах обходу контуру.

Оскільки фази цих електронних хвиль за зустрічі в точці 0 будуть однаковими, то з урахуванням, що ${\displaystyle A_{1}=A_{2}=A}$, одержимо ${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=4A^{2}}$ замість ${\displaystyle 2A^{2}}$, що було б без урахування інтерференції.

Збільшення ймовірності для електрона через час ${\displaystyle t}$ бути виявленим в точці 0 (по суті, залишитись там, звідки почалася дифузія) і називається слабкою локалізацією.

Розгалуження в кільцеподібному каналі хвилі з водойми, яка з ним з'єднана

Фізичну суть процесів, які лежать в основі слабкої локалізації, можна пояснити з допомогою механічної аналогії[13]. Нехай кільцеподібний водний канал в одному місці з'єднаний з великою водоймою. Хвиля, яка приходить з водойми, розгалужуючись, потрапляє в обидва рукави каналу. Після розгалуження хвилі в обох рукавах є когерентними. Якщо затухання хвиль у каналі немає, то обидві локальні хвилі, рухаючись в протилежних напрямках по каналу, обійдуть його і зустрінуться на вході, інтерферуючи одна з одною.

Збільшення ймовірності повернення електронів під час дифузії в точку, з якої вона почалася, не означає, що дифузія взагалі неможлива. Слабка локалізація призводить до зниження рухливості частинок, а отже до підвищення електричного опору[6].

Значення квантової поправки ${\displaystyle \delta \sigma }$ до провідності ${\displaystyle \sigma }$, зумовлене ефектом слабкої локалізації, суттєво залежить від розмірності ${\displaystyle d}$ системи.

Об'єм, у будь-якій точці якого може перебувати електрон в момент часу ${\displaystyle t}$, становить ${\displaystyle {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}$, де ${\displaystyle D}$ — коефіцієнт дифузії. Об'єм, з якого електрон за час ${\displaystyle dt}$ може потрапити в початкову точку, складає ${\displaystyle \lambda ^{d-1}v_{F}dt}$ (${\displaystyle \lambda =1/k_{F}}$ — де-бройлівська довжина хвилі, ${\displaystyle v_{F}}$ — швидкість Фермі). Відношення цих об'ємів визначає відносну кількість електронів, які побували в початковій точці за час ${\displaystyle dt}$. Мінімальний час, через який електрон може повернутися в початкову точку, — час пружного розсіяння ${\displaystyle \tau }$. Максимальний час, через який він зможе брати участь в інтерференції, — час збою фази ${\displaystyle \tau _{\varphi }}$. Таким чином,

${\displaystyle \delta \sigma /\sigma =-\int \limits _{\tau }^{\tau _{\varphi }}{v_{F}\lambda ^{d-1}dt \over {\bigl (}Dt{\bigr )}^{d/2}}}$.

Для ${\displaystyle d=3}$ (тривимірний випадок):

${\displaystyle \delta \sigma /\sigma =-(k_{F}^{2}l{\bigr )}^{-1}{\bigl (}1/l-1/L_{\varphi }{\bigr )}}$,

де ${\displaystyle k_{F}}$ — радіус сфери Фермі; ${\displaystyle l}$ — середня довжина вільного пробігу електрона.

Величина ${\displaystyle L_{\varphi }\approx {\sqrt {D\cdot \tau _{\varphi }}}\approx l\cdot {\sqrt {\tau _{\varphi }/\tau }}\gg l}$ називається дифузійною довжиною втрати фази.

${\displaystyle L_{\varphi }}$ є характерним розміром, у порівнянні з яким визначається розмірність ${\displaystyle d}$ системи. Плівка товщини ${\displaystyle b}$ та металічна нитка діаметра ${\displaystyle b}$ за умови ${\displaystyle b\ll L_{\varphi }}$ є прикладами систем зниженої розмірності (дво- та одновимірний випадок відповідно).

Для ${\displaystyle d=2}$:

${\displaystyle \delta \sigma /\sigma =2(k_{F}l{\bigr )}^{-1}(k_{F}b{\bigr )}^{-1}\ln {\ l \over \ L_{\varphi }}}$.

Для ${\displaystyle d=1}$:

${\displaystyle \delta \sigma /\sigma =(k_{F}b)^{-2}\left({l-L_{\varphi } \over l}\right)}$.

Аналіз поправок свідчить, що ефект інтерференції тим сильніший, чим нижча розмірність системи.

${\displaystyle L_{\varphi }}$ є функцією температури, тому саме через цей параметр квантові поправки до провідності залежать від температури. Оскільки при ${\displaystyle T\rightarrow 0}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\rightarrow \infty }$ [14], то в тривимірному випадку провідність зі зниженням температури прямує до деякого постійного значення. Для систем зниженої розмірності за наближення температури до абсолютного нуля квантові поправки, залишаючись від’ємними, необмежено зростають. Через те, що провідність не може бути від’ємною, повинна бути умова застосовності наведених формул квантових поправок до провідності. Такою умовою є відносна малість поправок.

Якщо квантові поправки до провідності представити в абсолютній формі,то вони матимуть вигляд[13]:

${\displaystyle d=3}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{3}=-const+{\frac {e^{2}}{\hbar }}L{\overset {-1}{\varphi }}}$,

${\displaystyle d=2}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{2}=-2{\frac {e^{2}}{\hbar }}\ln {\frac {L_{\varphi }}{l}}}$,

${\displaystyle d=1}$: ${\displaystyle \Delta \sigma _{1}=-{\frac {e^{2}}{\hbar }}L{\overset {}{\varphi }}}$.
Всі вони мають однаковий масштаб ${\displaystyle e^{2}/\hbar }$. Ця комбінація атомних констант розмірності, оберненої до розмірності опору, зустрічається в усіх задачах, пов'язаних зі слабкою локалізацією.

Магнітне поле «закручує» траєкторію електрона, тому з точки зору класичної фізики електричний опір у магнітному полі має зростати, тобто має спостерігатися додатній магнітоопір. Проте, для матеріалів, для яких проявляються ефекти слабкої локалізації, спостерігається від'ємний магнітоопір — у магнітному полі їх електричний опір зменшується.

Ефект від'ємного магнітоопору зумовлений руйнуванням магнітним полем слабкої локалізації. При проходженні електроном замкненого контуру за наявності магнітного поля в його хвильової функції ${\displaystyle \Psi }$ з'являється додатковий фазовий множник[6]:

${\displaystyle \Psi \longrightarrow \Psi \cdot \exp \left(\pm {\frac {i\pi BS}{\Phi _{0}}}\right)}$,

де ${\displaystyle \Phi _{0}}$ — квант магнітного потоку;

${\displaystyle BS=\Phi }$ — магнітний потік через замкнений контур електронної траєкторії площею ${\displaystyle S}$.

Знак ${\displaystyle +}$ чи ${\displaystyle -}$ в показнику експоненти залежить від напрямку обходу контуру електроном: за чи проти годинникової стрілки. Оскільки електрон може рухатися замкненою траєкторією в протилежних напрямках, після повернення його в початкову точку виникне зсув фаз ${\displaystyle \varphi =2\pi \cdot {\bigl (}\operatorname {\Phi } /\operatorname {\Phi } _{0})}$.

Наявність різниці фаз означає що ймовірність ${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}}$ набуде вигляду:

${\displaystyle p{\bigl (}0,t{\bigr )}=|A_{1}+A_{2}|^{2}=\ |A_{1}|^{2}+|A_{2}|^{2}+2\,|A_{1}A_{2}|\cos \varphi }$.

За усереднення по різних замкнених траєкторіях середнє значення ${\displaystyle \cos \varphi }$ дорівнюватиме нулю, так що інтерференційний внесок зникає, що, власне, й призводить до зниження електричного опору в магнітних полях[15].

Інтерференційна картинка в магнітному полі руйнується завдяки розкиду площ різних замкнених траєкторій. Якщо всі замкнені траєкторії матимуть одну і ту ж площу проєкції на площину, перпендикулярну вектору напруженості магнітного поля, то інтерференційний внесок не руйнуватиметься, а буде осцилювати з ростом напруженості магнітного поля з періодом ${\displaystyle \Delta B=\operatorname {\Phi } _{0}/\operatorname {S} }$.

Таку конфігурацію можна реалізувати, якщо, наприклад, на кварцову нитку діаметром ${\displaystyle d=}$1 ÷ 2 мкм напилити шар металу значно меншої товщини, отримавши своєрідний тонкостінний циліндр. Усі замкнені дифузійні траєкторії матимуть площу проєкції на площину, перпендикулярну осі циліндра або 0, або ${\displaystyle \operatorname {\pi } d^{2}/\operatorname {4} }$. Магнітне поле, спрямоване вдовж осі такого циліндра, на інтерференцію траєкторій з нульовою площею проєкцій впливу не чинить. Водночас внесок замкнених траєкторій з площею проєкцій відмінною від нуля в провідність вздовж осі циліндра осцилюватиме з ростом магнітного поля[7].

Подібні осциляції можна спостерігати не тільки для зразків спеціальної форми; вони можуть виникнути для зразків довільної форми, але достатньо малого розміру. Кількість замкнених траєкторій у таких зразках обмежена, тому за усереднення інтерференційний внесок у провідність не зникає. За зміни магнітного поля в таких зразках виникають так звані універсальні осциляції провідності (кондактансу)[16].