Купол (геометрія)
Ку́пол — тіло, утворене з'єднанням двох багатокутників, у якому один (основа) має вдвічі більше сторін, порівняно з іншим (верхньою гранню). З'єднання багатокутників здійснюється рівнобедреними трикутниками і прямокутниками. Якщо трикутники правильні, а прямокутники є квадратами, тоді як основа і верхня грань є правильними багатокутниками, купол є багатогранником Джонсона. Ці куполи, трисхилий, чотирисхилий і п'ятисхилий, можна отримати, взявши зрізи кубооктаедра, ромбокубооктаедра і ромбоікосододекаедра відповідно.
| П'ятикутний купол (приклад) | |
|---|---|
 | |
| Тип | Множина куполів |
| Символ Шлефлі | | t{n} |
| Граней | n трикутників, n квадратів, 1 n-кутник, 1 2n-кутник |
| Ребер | 5n |
| Вершин | 3n |
| Група симетрії | Cnv, [1,n], (*nn), порядок 2n |
| Група поворотів | Cn, [1,n]+, (nn), порядок n |
| Дуальний многогранник | ? |
| Властивості | опуклий |
Купол можна розглядати як призму, де один з багатокутників наполовину стягнуто попарним об'єднанням вершин.
Купола можна приписати розширений символ Шлефлі {n} || t{n}, що описує правильний багатокутник {n}, з'єднаний з паралельною йому зрізаною копією, t{n} або {2n}.
Куполи є підкласом призматоїдів.
Приклади
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Назва | Двосхилий купол | Трисхилий купол | Чотирисхилий купол | П'ятисхилий купол | Шестисхилий купол (плоский) |
| Символ Шлефлі | | t{2} | | t{3} | | t{4} | | t{5} | | t{6} |
| Купол |  |
 |
 |
|
 |
| Пов'язані однорідні багатогранники |
Трикутна призма    |
Кубооктаедр |
Ромбокубо- октаедр  |
Ромбоікосо- додекаедр  |
Ромботри- шестикутна мозаїка  |
Згадані вище три багатогранники є нетривіальними опуклими куполами з правильними гранями. «Шестисхилий купол» є плоскою фігурою, а трикутну призму можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата). Однак куполи з більшим числом сторін багатокутників можна побудувати тільки з неправильними трикутними і прямокутними гранями.
Координати вершин
Визначення купола не вимагає правильності основи і верхньої грані, але зручно розглядати випадки, в яких куполи мають максимальну симетрію, Cnv. В цьому випадку верхня грань є правильним n-кутником, тоді як основа є правильним 2n-кутником, або 2n-кутником з двома різними довжинами сторін (через одну) і тими ж кутами, що й у правильного 2n- кутника. Зручно розташувати купол у координатній системі так, щоб його основа лежала в площині xy з верхньою гранню, яка паралельна цій площині. Вісь z є віссю симетрії порядку n, дзеркальні площини проходять через цю вісь і ділять сторони основи навпіл. Вони також поділяють навпіл сторони або кути верхньої грані, або і те, й інше. (Якщо n парне, половина дзеркал ділить навпіл сторони, половина — кути. Якщо ж n непарне, кожне дзеркало ділить навпіл одну сторону і один кут верхньої грані). Пронумеруємо вершини основи числами від V1 до V2n, а вершини верхньої грані — числами від V2n+1 до V3n. Координати вершин тоді можна записати таким чином:
- V2j-1: (rb cos[2π(j − 1) / n + α], rb sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
- V2j: (rb cos(2πj / n − α), rb sin(2πj / n − α), 0)
- V2n+j: (rt cos(πj / n), rt sin(πj / n), h), де j = 1, 2, …, n.
Оскільки багатокутники V1V2V2n+2V2n+1, і т. д. є прямокутниками, на значення rb, rt і α накладаються обмеження. Відстань V1V2 дорівнює
- rb{[cos(2π / n − α) − cos α]2 + [sin(2π / n − α) − sin α]2}1⁄2
- = rb{[cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α]}1⁄2
- = rb{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}1⁄2
- = rb{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}1⁄2
а відстань V2n+1V2n+2 дорівнює
- rt{[cos(π / n) − 1]2 + sin2(π / n)}1⁄2
- = rt{[cos2(π / n) − 2cos(π / n) + 1] + sin2(π / n)}1⁄2
- = rt{2[1 − cos(π / n)]}1⁄2.
Вони мають бути рівними, так що, якщо це спільне ребро має довжину s,
- rb = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}1⁄2
- rt = s / {2[1 − cos(π / n)]}1⁄2
І ці значення слід підставити в наведені вище формули для вершин.
Зірчасті куполи
| n / d | 4 | 5 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 3 |  {4/3} |
 {5/3} |
 {7/3} |
 {8/3} |
| 5 | — | — |  {7/5} |
 {8/5} |
| n / d | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 2 |  Перехрещений трикутний куполоїд |
 Пентаграмний куполоїд |
 Гептаграмний куполоїд |
| 4 | — |  Перехрещений пентаграмний куполоїд |
 Перехрещений гептаграмний куполоїд |
Зірчасті куполи існують для всіх основ {n/d}, де 6/5 < n/d < 6 і d непарне. На границях куполи перетворюються на плоскі фігури. Якщо d парне, нижня основа {2n/d} вироджується — ми можемо утворити куполоїд або напівукупол шляхом видалення цієї виродженої грані і дозволивши трикутникам і квадратам з'єднуватися один з одним. Зокрема, тетрагемігексаедр можна розглядати як {3/2}-куполоїд. Усі куполи орієнтовані, тоді як всі куполоїди неорієнтовані. Якщо в куполоїда n/d > 2, трикутники і квадрати не покривають всю основу і на ній залишається тоненька перетинка, яка просто закриває отвір. Таким чином, куполоїди {5/2} і {7/2} на малюнку вище мають перетинки (не заповнені), тоді як куполоїди {5/4} і {7/4} їх не мають.
Висота h купола {n/d} або куполоїда задається формулою
.
Зокрема, h = 0 на границях n/d = 6 та n/d = 6/5, і h максимальне при n/d = 2 (трикутна призма, де трикутники розташовані вертикально)[1][2].
На малюнках вище зірчасті куполи показано в кольорах, щоб підкреслити їх грані — грань n/d-кутника показано червоним, грань 2n/d-кутника показано жовтим, квадрати подано синім кольором, а трикутники — зеленим. Куполоїди мають червоні n/d-кутні грані, жовті квадратні грані, а трикутні грані пофарбовано в блакитний колір, другу ж основу видалено.
Гіперкуполи
Гіперкуполи або багатогранні куполи — це сімейство опуклих неоднорідних чотиривимірних багатогранників, аналогічних куполам. Основами кожного такого багатогранника є правильний багатогранник (тривимірний) і його розтягнення [3].
В таблиці використовується поняття сегментогранник (англ. Segmentochora) — це фігура, що задовольняє таким властивостям:
- 1. всі вершини розташовані на одній гіперсфері
- 2. всі вершини розташовані на двох паралельних гіперплощинах
- 3. всі ребра мають довжину 1
У площині існує два сегментогранники (сегментокутники) — правильний трикутник і квадрат.
У 3-вимірному просторі до них належать піраміди, призми, антипризми, куполи.
| Назва | Тетраедральний купол | Кубічний купол | Октаедральний купол | Декаедральний купол | Шестикутний мозаїчний купол | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Символ Шлефлі | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ rr{6,3} | |||||
| Індекс сегментогранника [3] |
K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
| Радіус описаного кола |
1 | sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1.485634 |
sqrt(2+sqrt(2)) = 1.847759 |
3+sqrt(5) = 5.236068 |
||||||
| Малюнок |  |
 |
 |
 |
||||||
| Головні комірки |   |
  |
 |
  |
  | |||||
| Вершин | 16 | 32 | 30 | 80 | ∞ | |||||
| Ребер | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
| Граней | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
| Комірок | 16 | 1 тетраедр 4 трикутні призми 6 трикутних призм 4 трикутні призми 1 кубооктаедр |
28 | 1 куб 6 квадратних призм 12 трикутних призм 8 трикутних пірамід 1 ромбокубооктаедр |
28 | 1 октаэдр 8 трикутних призм 12 трикутних призм 6 квадратних пірамід 1 ромбокубооктаедр |
64 | 1 додекаедр 12 п'ятикутних призм 30 трикутних призм 20 трикутних пірамід 1 ромбоікосододекаедр |
∞ | 1 шестикутна мозаїка ∞ шестикутних призм ∞ трикутних призм ∞ трикутних пірамід 1 ромботришестикутна мозаїка |
| Пов'язані однорідні 4-вимірні багатогранники |
Рансінований 5-комірник |
Рансінований тесеракт |
Рансінований 24-комірник |
Рансінований 120-комірник |
Рансінований шестикутний мозаїчний стільник | |||||
Примітки
Література
- N.W. Johnson. Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966. — Вип. 18 (3 листопада). — С. 169–200.
- Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Cupola(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Segmentotopes