Міра Радона

Означення

Допоміжні означення

Нехай μ є мірою на сигма-алгебрі борелівських множин у гаусдорфовому топологічному просторі X.

Міра μ називається внутрішньо регулярною, якщо для будь-якої борелівської множини B, μ(B) є рівною супремуму чисел μ(K) для компактних підмножин K в B.

Міра μ називається зовнішньою регулярною, якщо для будь-якої борелівської множини B, μ(B) є інфімумом μ(U) по всіх відкритих множинах U, що містять B.

Міра μ називається локально скінченною, якщо кожна точка в X має окіл U, на якому значення μ(U) є скінченним. Якщо μ є локально скінченною, то μ є скінченною на компактних множинах. У випадку локально компактних гаусдорфових просторів також міра, яка є скінченною на усіх компактних підмножинах є локально скінченною. У цьому випадку відповідно умови локальної скінченності і скінченності на компактних множинах є еквівалентними.

Міра Радона

Міра μ на сигма-алгебрі борелівських множин називається мірою Радона, якщо вона є внутрішньо регулярною і локально скінченною.

Визначена так міра породжує міру на борелівській σ-алгебрі задану як для усіх борелівський множин E, де в означенні усі множини U по яких береться інфімум є відкритими.

Введена міра є локально скінченною, зовнішньою регулярною і задовольняє властивість внутрішньої регулярності для відкритих множин та сигма скінченних щодо міри множин. Навпаки для міри , що задовольняє такі властивості можна визначити міру як , де усі множини B по яких береться супремум є борелівськими.

Через зв'язок між мірами і мірою Радона можна називати будь-яку із цих мір тобто в означенні може бути внутрішньо регулярна,і локально скінченна міра або локально скінченна, зовнішньо регулярна міра, що є внутрішньо регулярною на відкритих множинах. Також можна в означенні міри Радона розглядати обидві міри із відповідними зв'язками між ними. Якщо якась із цих мір є сигма скінченною, то

Прикладом локально компактного простору X у якому ці міри не є рівними є підмножина дійсної площини, що складається із осі ординат, тобто точок виду (0,y) і точок виду (1/n,m/n2) де m,n є натуральними числами із топологією у якій всі точки (1/n,m/n2) є відкритими множинами, а база околів точок (0,y) складається із підмножин X виду (u,v) де |v  y|  |u|  1/n для деякого натурального числа n. Топологічний простір X є локально компактним. На ньому можна ввести міру m у якій вісь ординат має міру 0, а точка (1/n,m/n2) має міру 1/n3. Ця міра є внутрішньо регулярною і локально скінченною але не зовнішньо регулярною оскільки кожна відкрита множина, що містить вісь ординат має нескінченну міру . Зокрема сама вісь ординат має m-міру рівну 0 але M-міру рівну нескінченності.

У теорії інтегрування на локально компактних гаусдорфових просторах найбільше значення має міра . Саме вона зустрічається, наприклад у твердження теореми Ріса про інтегральне представлення.

Зауваження

  • Означення можна узагальнити для просторів, що не є гаусдорфовими, замінивши скрізь термін «компактний» на «замкнутий і компактний» але це узагальнення розглядається нечасто.

Приклади

Приклади міри Радона:

Приклади мір, що не є мірами Радону:

  • Лічильна міра на евклідовому просторі не є мірою Радона, оскільки вона не є локально скінченною.
  • Простір ординалів до першого незліченного ординала з топологією порядку є компактним топологічним простором. Міра, яка дорівнює 1 на будь-якій множині, що містить незліченну замкнуту множину, і 0 в іншому випадку, є борелівською, але не є мірою Радона.
  • Нехай X — множина [0,1) із топологією стрілки Зоргенфрея. Стандартна міра Лебега на цьому топологічному просторі не є мірою Радона, оскільки вона не є внутрішньо регулярною. Останнє випливає з того, що в цій топології компактні множини є не більш ніж зліченними.
  • Стандартна міра добутку на з незліченним не є мірою Радона, оскільки будь-яка компактна множина міститься всередині добутку незліченної кількості замкнутих інтервалів, міра кожного з яких є меншою 1.

Інтегрування на локально компактних просторах

Далі X позначає гаусдорфів локально компактний топологічний простір, μ — міру Радона (зовнішню регулярну і внутрішньо регулярну на відкритих підмножинах, яка вище позначалася ) на .

Неперервні дійснозначні функції із компактним носієм на X утворюють векторний простір , на якому можна задати локально опуклу топологію.

  • Міра μ задає додатний лінійний функціонал на просторі :
    Додатність означає, що , якщо . Неперервність відносно локально опуклої топології еквівалентно можна сформулювати так: для кожної компактної підмножини K простору X існує константа MK така, що для кожної неперервної на X функції f носій якої є підмножиною K,
  • Навпаки згідно теореми Ріса про інтегральне представлення, для довільного неперервного додатного лінійного функціоналу на просторі існує міра Радона для якої Одним із підходів до побудови теорії інтегрування полягає у розгляді спершу неперервного додатного лінійного функціоналу на просторі (такі функціонали, як правило і називаються тоді мірами Радона), після чого розглядається інтегрування для ширших класів функцій, а міра борелівських множин визначається через характеристичні функції.

Інтегрування

Визначення інтеграла на ширший клас функцій (необов'язково з компактним носієм) здійснюється у кілька кроків:

  1. Визначається верхній інтеграл μ*(g) напівнеперервних знизу додатних (дійсних) функцій g як супремум (можливо, нескінченний) додатних чисел μ(h) для неперервних із компактним носієм функцій hg .
  2. Визначається верхній інтеграл μ*(f) для довільної додатної дійснозначної функції f як інфімум верхніх інтегралів μ*(g) для напівнеперервних знизу функцій gf.
  3. Визначається векторний простір F = F(Х;μ) як простір всіх функцій f на X, для яких верхній інтеграл μ*(|f| ) є скінченним; верхній інтеграл абсолютного значення визначає напівнорму на F, і F є повним простором щодо топології, що визначається цією напівнормою.
  4. Визначається простір L1(X,μ) інтегровних функцій як замикання у F простору неперервних функцій із компактним носієм.
  5. Визначається інтеграл для функцій з L1(X,μ) через розширення неперервності (після перевірки того, що μ неперервна щодо топології L1(X,μ)).
  6. Визначається міра множини як інтеграл (коли він існує) характеристичної функції множини.

Можна переконатися, що ці дії дають теорію, ідентичну тій, що починається з міри Радона, яка визначається як функція, яка привласнює число кожній борелівській множині у X.

Метрика Радона

Конусу всіх мір Радона на можна надати структуру повного метричного простору. Відстань між двома мірами Радона , визначається таким чином:

де супремум береться за всіма неперервними функціями

Ця метрика називається "метрикою Радона". Збіжність мір у метриці Радона іноді називають сильною збіжністю.

Простір радонових ймовірнісних мір на ,

не є секвенціально компактним по відношенню до цієї метрики, тобто не гарантується, що будь-яка послідовність ймовірнісних мір матиме збіжну підпослідовність.

Збіжність у метриці Радона тягне за собою слабку збіжність мір:

Обернене твердження не є вірним.

Див. також

Література

  • Schwartz, Laurent (1974). Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press. ISBN 0-19-560516-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.