Міра Радона

Приклади міри Радона:

• Міра Лебега на евклідовому просторі (обмежена на борелівські підмножини);
• Міра Хаара на будь-якій локально компактній топологічній групі;
• Міра Дірака на будь-якому топологічному просторі;
• Гаусові міри на евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ з його борелівською сигма-алгеброю;
• Ймовірнісні міри на σ-алгебрі борелівських множин будь-якого польського простору. Цей приклад не тільки узагальнює попередній але включає багато мір на локально компактних просторах, наприклад, міру Вінера на просторі дійсних неперервних функцій на відрізку [0,1].

Приклади мір, що не є мірами Радону:

• Лічильна міра на евклідовому просторі не є мірою Радона, оскільки вона не є локально скінченною.
• Простір ординалів до першого незліченного ординала з топологією порядку є компактним топологічним простором. Міра, яка дорівнює 1 на будь-якій множині, що містить незліченну замкнуту множину, і 0 в іншому випадку, є борелівською, але не є мірою Радона.
• Нехай X — множина [0,1) із топологією стрілки Зоргенфрея. Стандартна міра Лебега на цьому топологічному просторі не є мірою Радона, оскільки вона не є внутрішньо регулярною. Останнє випливає з того, що в цій топології компактні множини є не більш ніж зліченними.
• Стандартна міра добутку на ${\displaystyle (0,1)^{\kappa }}$ з незліченним ${\displaystyle \kappa }$ не є мірою Радона, оскільки будь-яка компактна множина міститься всередині добутку незліченної кількості замкнутих інтервалів, міра кожного з яких є меншою 1.

Далі X позначає гаусдорфів локально компактний топологічний простір, μ — міру Радона (зовнішню регулярну і внутрішньо регулярну на відкритих підмножинах, яка вище позначалася ${\displaystyle \mathrm {M} }$) на ${\displaystyle X}$.

Неперервні дійснозначні функції із компактним носієм на X утворюють векторний простір ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)}$, на якому можна задати локально опуклу топологію.

• Міра μ задає додатний лінійний функціонал на просторі ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$:

  ${\displaystyle I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu }$ Додатність означає, що ${\displaystyle I(f)\geqslant 0}$, якщо ${\displaystyle f\geqslant 0}$. Неперервність відносно локально опуклої топології еквівалентно можна сформулювати так: для кожної компактної підмножини K простору X існує константа M_K така, що для кожної неперервної на X функції f носій якої є підмножиною K,

  ${\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.}$

• Навпаки згідно теореми Ріса про інтегральне представлення, для довільного неперервного додатного лінійного функціоналу на просторі ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ існує міра Радона ${\displaystyle \mu }$ для якої ${\textstyle I(f)=\int \limits _{X}f\,d\mu .}$ Одним із підходів до побудови теорії інтегрування полягає у розгляді спершу неперервного додатного лінійного функціоналу на просторі ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ (такі функціонали, як правило і називаються тоді мірами Радона), після чого розглядається інтегрування для ширших класів функцій, а міра борелівських множин визначається через характеристичні функції.

Конусу всіх мір Радона на ${\displaystyle X}$ можна надати структуру повного метричного простору. Відстань між двома мірами Радона ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$, визначається таким чином:

${\displaystyle \rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}-\mu _{2})(x)\right\},}$

де супремум береться за всіма неперервними функціями ${\displaystyle f\colon X\to [-1,1]}$

Ця метрика називається "метрикою Радона". Збіжність мір у метриці Радона іноді називають сильною збіжністю.

Простір радонових ймовірнісних мір на ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},}$

не є секвенціально компактним по відношенню до цієї метрики, тобто не гарантується, що будь-яка послідовність ймовірнісних мір матиме збіжну підпослідовність.

Збіжність у метриці Радона тягне за собою слабку збіжність мір:

${\displaystyle \rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu }$

Обернене твердження не є вірним.

• Локально скінченна міра
• Міра Лебега
• Міра множини
• Регулярна міра
• Теорема Ріса про інтегральне представлення

• Schwartz, Laurent (1974). Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press. ISBN 0-19-560516-0.