Розв'язування трикутників

Стандартним методом розв'язування задачі є використання декількох фундаментальних співвідношень, що виконуються для всіх плоских трикутників[4]:

Теорема косинусів

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

Сума кутів трикутника ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$ тобто розгорнутому куту.

Теорема синусів

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

Сума кутів трикутника

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$

Із інших іноді корисних на практиці універсальних співвідношень слід згадати теорему тангенсів, теорему котангенсів і формули Мольвейде.

1. Для знаходження невідомого кута надійніше використовувати теорему косинусів, а не синусів. Причина в тому, що значення синуса кута при вершині трикутника не визначає однозначно самого кута[5]. Наприклад, якщо ${\displaystyle \sin \beta =0{,}5,}$ то кут ${\displaystyle \beta }$ може бути як ${\displaystyle 30^{\circ }}$, так і ${\displaystyle 150^{\circ }}$, тому що синуси цих кутів рівні. Винятком є випадок, коли заздалегідь відомо, що в даному трикутнику тупих кутів бути не може — наприклад, якщо трикутник прямокутний. З косинусом такі проблеми не виникають, в інтервалі від ${\displaystyle 0^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$ значення косинуса визначає кут однозначно.
2. При побудові трикутників важливо пам'ятати, що дзеркальне відбиття побудованого трикутника також буде розв'язком задачі. Наприклад, три сторони однозначно визначають трикутник з точністю до відбиття.
3. Всі трикутники вважаються невиродженими, тобто довжина сторони не може бути нульовою, а величина кута — додатне число, менше, ніж ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Задано три сторони

Нехай задані довжини всіх трьох сторін ${\displaystyle a,b,c}$. Умова розв'язності задачі — виконання нерівності трикутника, тобто кожна довжина повинна бути меншою, ніж сума двох інших довжин:

${\displaystyle a<b+c;\;b<a+c;\;c<a+b}$

Щоб знайти кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, потрібно скористатися теоремою косинусів[6]:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

${\displaystyle \beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}}$

Третій кут одразу знаходиться з правила, що сума всіх трьох кутів повинна бути рівна 180°:

${\displaystyle ~\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta )}$.

Не рекомендується другий кут знаходити за теоремою синусів, тому що, як вказано у вищенаведеному зауваженні 1, при цьому є небезпека сплутати тупий кут із гострим. Цієї небезпеки не виникне, якщо першим визначити, за теоремою косинусів, найбільший кут, що лежить навпроти найбільшої із сторін — два інших кута точно є гострими, і застосування до них теореми синусів безпечне.

Ще один метод обчислення кутів за відомими сторонами — використання теореми котангенсів.

Задані дві сторони і кут між ними

Нехай, для визначеності, відомі довжини сторін ${\displaystyle a,b}$ і кут ${\displaystyle \gamma }$ між ними. Цей варіант задачі завжди має єдиний розв'язок. Для визначення довжини сторони ${\displaystyle c}$ знову застосовується теорема косинусів[7]:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}$

Фактично задача зведена до попереднього випадку. Далі ще раз застосовується теорема косинусів для знаходження другого кута:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {b-a\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}}$

Третій кут визначається з теореми про суму кутів трикутника: ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$.

Задані дві сторони і кут не між ними

У цьому випадку можуть існувати два розв'язки, єдиний розв'язок або взагалі не бути розв'язків. Нехай, наприклад, відомі дві сторони ${\displaystyle b,c}$ і кут ${\displaystyle \beta }$. Рівняння для кута ${\displaystyle \gamma }$ знаходиться з теореми синусів[8]:

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta }$

Для простоти позначимо ${\displaystyle ~D={\frac {c}{b}}\sin \beta }$ (права частина рівняння). При розв'язуванні рівняння можливі 4 випадки[9][10].

1. Задача не має розв'язку (сторона ${\displaystyle b}$ «не дістає» до лінії BC) у двох випадках: якщо ${\displaystyle D>1}$ або якщо кут ${\displaystyle \beta \geqslant 90^{\circ }}$ і при цьому ${\displaystyle b\leqslant c.}$
2. Якщо ${\displaystyle D=1}$, існує єдиний розв'язок, причому трикутник прямокутний, ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }.}$

Два можливих розв'язки

3. Якщо ${\displaystyle D<1}$, то можливі 2 варіанти.
   1. Якщо ${\displaystyle b<c}$, то кут ${\displaystyle \gamma }$ має два можливих значення: гострий кут ${\displaystyle ~\gamma =\arcsin D}$ і тупий кут ${\displaystyle ~\gamma '=180^{\circ }-\gamma }$. На рисунку справа першому значенню відповідає точка ${\displaystyle C}$, сторона ${\displaystyle b}$ і кут ${\displaystyle \gamma }$, а другому значенню — точка ${\displaystyle C'}$, сторона ${\displaystyle b'=b}$ і кут ${\displaystyle \gamma '}$.
   2. Якщо ${\displaystyle b\geqslant c}$, то ${\displaystyle \beta \geqslant \gamma }$ (як відомо, більшій стороні трикутника відповідає більший протилежний кут). Оскільки в трикутнику не може бути двох тупих кутів, тупий кут для ${\displaystyle ~\gamma }$ виключений, і розв'язок ${\displaystyle ~\gamma =\arcsin D}$ єдиний.

Третій кут визначається за формулою ${\displaystyle ~\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma }$. Третю сторону можна знайти за теоремою синусів:

${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

Задані сторона і прилеглі до неї кути

Нехай задана сторона ${\displaystyle c}$ і два кути. Ця задача має єдиний розв'язок, якщо сума двох кутів менша ${\displaystyle 180^{\circ }}$. У протилежному випадку задача розв'язку не має.

Спочатку визначається третій кут. Наприклад, якщо задані кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, то ${\displaystyle ~\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta }$. Далі обидві невідомі сторони знаходяться за теоремою синусів[11]:

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}}$

Прямокутний трикутник

У цьому випадку відомий один з кутів — він дорівнює 90°. Необхідно знати ще два елементи, хоча б один з яких — сторона. Можливі наступні випадки:

• два катети;
• катет і гіпотенуза;
• катет і прилеглий гострий кут;
• катет і протилежний гострий кут;
• гіпотенуза і гострий кут.

Прийнято позначати вершину прямого кута літерою C, а гіпотенузу — ${\displaystyle c}$. Катети позначаються ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, а величини протилежних до них кутів — α і β відповідно.

Розрахункові формули суттєво спрощуються, оскільки замість теорем синусів і косинусів можна використати простіші співвідношення — теорему Піфагора:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

і визначення основних тригонометричних функцій:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c}},}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha =\mathrm {ctg} \beta ={\frac {a}{b}},\quad \mathrm {ctg} \alpha =\mathrm {tg} \beta ={\frac {b}{a}}.}$

Зрозуміло також, що кути α і β — гострі, оскільки їхня сума дорівнює ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Тому будь-який з невідомих кутів однозначно визначається за будь-якою з його тригонометричних функцій (синусом, косинусом, тангенсом та ін.) шляхом обчислення відповідної оберненої тригонометричної функції.

При коректній постановці задачі (якщо задані гіпотенуза і катет, то катет повинен бути меншим від гіпотенузи; якщо заданий один з двох непрямих кутів, то він повинен бути гострим) розв'язок завжди існує і єдиний.

Гіпотенуза знаходиться за теоремою Піфагора:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Кути можна знайти з використанням функції арктангенса:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \,{\frac {a}{b}},\quad \beta =\operatorname {arctg} \,{\frac {b}{a}}}$

або ж за тільки що знайденою гіпотенузою:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c}},\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos {\frac {a}{c}}.}$

Нехай відомі катет ${\displaystyle b}$ і гіпотенуза ${\displaystyle c}$, тоді катет ${\displaystyle a}$ знаходиться з теореми Піфагора:

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.}$

Після цього кути визначаються аналогічно до попереднього випадку.

Нехай відомі катет ${\displaystyle b}$ і прилеглий до нього кут α.

Гіпотенуза ${\displaystyle c}$ визначається із співвідношення

${\displaystyle c={\frac {b}{\cos \alpha }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ можна знайти або за теоремою Піфагора аналогічно до попереднього випадку, або із співвідношення

${\displaystyle a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .}$

Гострий кут β можна знайти як

${\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha .}$

Нехай відомі катет ${\displaystyle b}$ і протилежний до нього кут β.

Гіпотенузу ${\displaystyle c}$ можна знайти із співвідношення

${\displaystyle c={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ і другий гострий кут α можна знайти аналогічно до попереднього випадку.

Нехай відомі гіпотенуза ${\displaystyle c}$ і гострий кут β.

Гострий кут α можна знайти як

${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\beta .}$

Катети визначаються із співвідношень

${\displaystyle a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,}$

${\displaystyle b=c\sin \beta =c\cos \alpha .}$

Якщо сторони ${\displaystyle a,b,c}$ задані (в кутових одиницях), то кути трикутника визначаються з теореми косинусів[14]:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)}$,

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)}$,

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right)}$,

Задані дві сторони і кут між ними

Нехай задані сторони ${\displaystyle a,b}$ і кут ${\displaystyle \gamma }$ між ними. Сторона ${\displaystyle c}$ знаходиться за теоремою косинусів[14]:

${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)}$

Кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ можна знайти так само, як і в попередньому варіанті, можна також використати формули аналогії Непера:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}}}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}}$,

Задані дві сторони і кут не між ними

Нехай задані сторони ${\displaystyle b,c}$ і кут ${\displaystyle \beta }$. Для існування розв'язку необхідним є виконання умов:

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta )}$

Кут ${\displaystyle \gamma }$ отримується з теореми синусів:

${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}$

Тут, аналогічно до плоского випадку, при ${\displaystyle b<c}$ отримуються два розв'язки: ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle ~180^{\circ }-\gamma }$.

Інші величини можна знайти з формул аналогії Непера[15]:

${\displaystyle a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}}$,

${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}}$.

Задані сторона і прилеглі кути

У цьому варіанті задана сторона ${\displaystyle c}$ і кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Кут ${\displaystyle \gamma }$ визначається за теоремою косинусів[16]:

${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta )\,}$,

Дві невідомі сторони отримуються з формул аналогії Непера:

${\displaystyle a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}}$

${\displaystyle b=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}}$

або, використовуючи обчислений кут ${\displaystyle \gamma }$, за теоремою косинусів:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$

Задані два кути і сторона не між ними

Нехай задані сторона ${\displaystyle a}$ і кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Сторона ${\displaystyle b}$ визначається за теоремою синусів[17]:

${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$,

Якщо кут для сторони ${\displaystyle a}$ гострий і ${\displaystyle \alpha >\beta }$, існує другий розв'язок:

${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right)}$

Інші величини визначаються з формул аналогії Непера:

${\displaystyle c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}}$,

${\displaystyle \gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}}$,

Задані три кути

Якщо задано три кута, сторони можна знайти за теоремою косинусів:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$,

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$,

${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)}$.

Інший варіант: використання формули половини сторони[18].

Викладені алгоритми значно спрощуються, якщо відомо, що один з кутів трикутника (наприклад, кут ${\displaystyle C}$) прямий. Прямокутний сферичний трикутник повністю визначається двома елементами, інші три знаходяться з допомогою мнемонічного правила Непера або з наведених нижче співвідношень[19].

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta }$

${\displaystyle \sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta }$

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c}$

${\displaystyle \cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c}$

Визначення відстані з допомогою тріангуляції

Для визначення відстані ${\displaystyle d}$ від берега до недоступної точки — наприклад, до віддаленого корабля, — потрібно відмітити на березі дві точки, відстань ${\displaystyle l}$ між якими відома, і виміряти кути ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ між лінією, що сполучає ці точки, і напрямком на корабель. З формул варіанту «сторона і прилеглі до неї кути» можна знайти довжину висоти трикутника[22]:

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}\,l}$

Цей метод використовується в каботажному судноплавстві. Кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ при цьому оцінюються спостереженнями з корабля відомих орієнтирів на землі. Аналогічна схема використовується в астрономії для визначення відстані до близької зорі: вимірюються кути спостереження цієї зорі з протилежних точок земної орбіти (тобто з інтервалом у півроку) і за їх різницею (паралаксом) обчислюють шукану відстань[22].

Визначення висоти гори

Інший приклад: потрібно виміряти висоту ${\displaystyle h}$ гори або високої будівлі. Відомі кути ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ спостереження вершини з двох точок, розташованих на відстані ${\displaystyle l}$. З формул того ж варіанту, що і вище, отримується[23]:

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l}$

Потрібно обчислити відстань між двома точками на земній кулі[24]:

Точка A: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {A} },}$ довгота ${\displaystyle L_{\mathrm {A} },}$

Точка B: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {B} },}$ довгота ${\displaystyle L_{\mathrm {B} },}$

Для сферичного трикутника ${\displaystyle ABC}$, де ${\displaystyle C}$ — північний полюс, відомі наступні величини:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }\,}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }\,}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\,}$

Цей випадок «дві сторони і кут між ними». З наведених вище формул отримуємо:

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}}$,

де ${\displaystyle R}$ — радіус Землі.