Когомологія груп

Нехай G — деяка група і A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} (G).}$ Нехай A^G — підмодуль G-інваріантних елементів у А, тобто множина таких елементів ${\displaystyle a\in A,}$ що для всіх елементів g у групі G виконується ${\displaystyle ga=a.}$

Усі G-модулі утворюють категорію морфізмами в якій є гомоморфізми f для яких виконуються рівності f(ga) = g(fa) для всіх ${\displaystyle g\in G}$ і ${\displaystyle a\in A.}$ Категорія G-модулів (тобто категорія ${\displaystyle \mathbb {Z} (G)}$-модулів) має достатньо ін'єктивних об'єктів, як і всі категорії модулів над кільцями.

Відображення A → A^G є функтором із категорії G-модулів у категорію абелевих груп. Цей функтор є точним зліва але не справа, тобто для точної послідовності 0→A→B→C→0 точною є послідовність 0→A^G →B^G →C^G.

Тому для функтора A → A^G можна побудувати праві похідні функтори. Їх значеннями є абелеві групи, що позначаються Hⁿ(G, А) і називаються n-ми когомологічними групами групи G із значеннями у A.

Окрім означення за допомогою ін'єктивних резольвент визначення можна дати за допомогою проєктивних резольвент. Для початку є ізоморфізм ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,A)\cong A^{G},}$ де ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ розглядається як G-модуль є з тривіальною дією.

Нехай

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d_{n}}}P_{n}{\xrightarrow {d_{n-1}}}P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to \mathbb {Z} \to 0}$

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ у категорії G-модулів, тобто точною послідовністю, в якій всі модулі P_i є проєктивними. Тоді Hⁿ(G, А) є n-на група когомологій коланцюгового комплексу:

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d'_{n}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{n},A){\xleftarrow {d'_{n-1}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{n-1},A){\xleftarrow {d'_{n-2}}}\dots {\xleftarrow {d'_{0}}}\operatorname {Hom} _{G}(P_{0},A)\leftarrow 0}$

де відображення ${\displaystyle d'_{n}}$ індуковані відображеннями ${\displaystyle d_{n},}$ тобто ${\displaystyle H^{n}(G,A)=\operatorname {Ker} d'_{n}/\operatorname {lm} d'_{n-1}.}$

Дане означення теж є за допомогою похідного функтора — функтора Ext. А саме ${\displaystyle H^{n}(G,A)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} (G)}^{n}(\mathbb {Z} ,A).}$

Для обчислення груп когомологій зазвичай використовують стандартну резольвенту тривіального G-модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, в якій ${\displaystyle P_{n}=\mathbb {Z} [G_{n}+1].}$

P_n є вільним, а тому і проєктивним ${\displaystyle \mathbb {Z} (G)}$-модулем. Його базисом є, наприклад множина елементів виду ${\displaystyle (1,g_{1},\ldots ,g_{n}),}$ де ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ — довільні елементи групи G.

Для ${\displaystyle (g_{0},\ldots g_{k})\in G^{n+1}}$ можна визначити граничний оператор як:

${\displaystyle d_{n}(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)}$

де знак ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ означає, що член g_i є відсутнім у виразі. Коланцюги з ${\displaystyle Hom_{G}(P_{n},A)}$ — функції ${\displaystyle f(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})}$ такі, що ${\displaystyle gf(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})=f(gg_{0},gg_{1},\ldots ,gg_{n}).}$

Роблячи заміну змінних за формулами ${\displaystyle g_{0}=1,\ g_{1}=h_{1},\ g_{2}=h_{1}h_{2},\ g_{n}=h_{1}h_{2}...h_{n},}$ можна перейти до неоднорідних коланцюгів ${\displaystyle f(h_{1},\ldots ,h_{n}).}$ Дія кограничного оператора на них задається як:

${\displaystyle \left(d^{n+1}f\right)(h_{1},\ldots ,h_{n+1})=h_{1}f(h_{2},\dots ,h_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}f\left(h_{1},\ldots ,h_{i-1},h_{i}h_{i+1},\ldots ,h_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}f(h_{1},\ldots ,h_{n}).}$

Наприклад одновимірний коцикл — функція ${\displaystyle f:G\to A}$ така, що ${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=g_{1}f(g_{2})+f(g_{1})}$ для ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$ а кограниця — функція виду f(g) = ga - a для деякого ${\displaystyle a\in A.}$ Одновимірний коцикл називається також схрещеним гомоморфізмом, а одновимірна кограниця — тривіальним схрещеним гомоморфізмом. У разі, коли G діє на А тривіально, схрещені гомоморфізми збігаються зі звичайними гомоморфізмами, а всі тривіальні схрещені гомоморфізми рівні 0, тобто в цьому випадку H¹(G, А) = Hom(G, А).

Набір функторів ${\displaystyle A\to H^{n}(G,A),\ n=0,1,...,}$ є δ-функтором на категорії лівих G-модулів (як про це описано в статті Похідний функтор, оскільки когомології груп є похідними функторами).

Модуль виду ${\displaystyle B=\operatorname {Hom} (\mathbb {Z} (G),X),}$ де X — абелева група, a G діє на B за формулою

${\displaystyle (g\phi )(t)=\phi (tg),\ \ \forall \phi \in B,t\in \mathbb {Z} (G),}$

називається коіндукованим. Для ін'єктивних і коіндукованих модулів A: Hⁿ(G, А) = 0 для n > 1. Будь-який модуль A є ізоморфним підмодулю деякого коіндукованого модуля B.

Точна когомологічна послідовність для послідовності

${\displaystyle 0\to A\to B\to B/A\to 0}$

визначає ізоморфізми Hⁿ(G, B/А) ~ Hⁿ⁺¹(G, А) і точну послідовність

${\displaystyle B^{G}\to (B/A)^{G}\to H^{1}(G,A)\to 0.}$

Таким чином, обчислення n-1 -вимірної групи когомологій для модуля A зводиться до обчислення n-вимірної групи когомологій для модуля B/A. Цей метод називається зсувом розмірностей.

Зсув розмірностей дозволяє дати аксіоматичне означення груп когомологій, як послідовність функторів ${\displaystyle A\to H^{n}(G,A)}$ з категорії G-модулів в категорію абелевих груп, що утворюють δ-функтор і задовольняють умові Hⁿ(G, А) = 0 при n > 1 для будь-якого коіндукованого модуля B.

Означення груп Hⁿ(G, А) можна дати також за допомогою відношення еквівалентності на множині точних послідовностей G-модулів виду

${\displaystyle 0\to A\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

Групи гомології груп визначаються за допомогою двоїстої конструкції з заміною всюди функтора ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}}$ функтором.${\displaystyle \otimes _{G}}$

Нехай знову ж

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d_{n}}}P_{n}{\xrightarrow {d_{n-1}}}P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to \mathbb {Z} \to 0}$

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ у категорії G-модулів.

Застосувавши до цієї послідовності коваріантний функтор ${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} (G)}A}$ одержується ланцюговий комплекс:

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} (G)}A\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} (G)}A.}$

Гомологічні групи цього комплексу називаються гомологічними групами групи G із значеннями у A і позначається H_n(G, А).

Зважаючи на означення функтора Tor, коротко можна записати:

${\displaystyle H_{n}(G,A)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} (G)}(\mathbb {Z} ,A).}$