Історія математики у Вірменії

Найдавніші джерела про математичні знання на території Вірменії — це клинописні таблички часів Урартського царства (IX—VII століття до н. е.). Вони свідчать, що у той час використовувалися десяткова і шістдесяткова системи числення[1]. Десяткова система докорінно відрізнялася від єгипетської і була близька до сучасної системи[2]. Клинописні таблички також свідчать, що за допомогою декількох символів записувалися досить великі цілі числа, а також дробові числа, і з ними проводилися операції додавання та віднімання[1]. Нижче наводиться кілька прикладів чисел, взятих з царських написів Сардурі II, де одиниці — , десятки — , сотні — , тисячі — [3]:

Урартійці, високо оцінюючи ассиро-вавилонську культуру, переймають у них клиноподібні письмена, створюють свою писемність і літературу, використанням клиноподібних цифр вводять у вжиток і роблять ужитковими великі числа[4]. Порівняння арифметики в стародавній Вірменії з урартською вказує на їх безпосередній зв'язок[4].

Про математичних знаннях вірмен, особливо в V—VI століттях можна скласти уявлення з одного боку судячи за філософськими та історичними працям, де досліджуються деякі проблеми математики та астрономії, а з іншого боку — за залишками речової культури (замки, палати, церкви, мости і зрошувальні системи), для будівництва яких були потрібні математичні знання і точні розрахунки, а також за участю вірмен у міжнародній торгівлі. В V і на початку VI століть велика кількість спеціально відібраних учнів з Вірменії були відправлені для продовження навчання в Олександрію, Афіни і Рим. Про це свідчили вірменські історики V століття[5].

До нинішніх часів вченим — історикам науки не вдалося знайти чисто математичних текстів, створених вірменами до V століття, коли Месропом Маштоцем було створено вірменський алфавіт[6]. Після створення вірменського алфавіту відкрилися вірменські школи[7], де викладали також і математику. Вірменські букви використовувалися в якості цифр, була створена алфавітна десяткова не позиційна система числення, яка наведена нижче (наприклад: Գ — 3, Խ — 40, Չ — 700, Ք — 9000). Між алфавітними системами вірмен і греків, поряд зі схожістю, існувало і деяке розходження. Вірмени вживали 36 букв, а греки — 27. Урартська система використовувалася паралельно з алфавітною, до тих пір, поки не була остаточно витіснена нею. Але сліди урартської системи залишилися в новій і передавалися з покоління в покоління[8].

Статуя Ананії Ширакаці перед будівлею Матенадарану в Єревані

Сторінка з підручника арифметики Ананії Ширакаці, 1283 рік

Древні математичні праці вірменською мовою, що дійшли до нас, пов'язані з ім'ям великого вірменського науковця VII століття, основоположника давньовірменського природознавства Ананії Ширакаці. Те, що до Ананії Ширакаці в V—VI століттях існували вірменські математики та математичні праці вірменською мовою, очевидно з одного свідчення Ширакаці. У вступі до таблиць додавання Ананія Ширакаці згадав, що він переписує в стислому вигляді праці своїх предків:

	Мета моя, о, любителі мудрості і, ті, хто бажає вчитися у мене: представити творчість наших предків - мистецтво осмислення, як живий голос доброго вчителя. Вчіться на моїх таблицях, хоча і виклав я їх коротко, представивши небагато з багатьох. Оригінальний текст (вірм.) «Արձանացուցանել ձեզ զջանս նախնեաց զարուեստս համարողութեան: <…> Ուսուցանիջիք իմոցս գծագրեացս թէպէտ և կարճառօտ կարգեցի զսակաւս ի բազմաց…»
— Ананія Ширакаці

Ананія Ширакаці зробив значний внесок у математику. Ним був складений підручник арифметики, що має декілька частин: таблиці з операціями додавання і віднімання, таблиці з операціями множення та ділення, таблиці чисел виду ${\displaystyle {\frac {6000}{n}}}$, де ${\displaystyle n}$ пробігає всі значення букв вірменського алфавіту, а частки округлюються до цілого числа (Шеститисячник, вірм. «Վեցհազարյակ»). У Вірменії також були аналогічні таблиці для чисел виду ${\displaystyle {\frac {5000}{n}}{,}~{\frac {4000}{n}}}$ та деяких інших[9]. Задачник складений Ананією Ширакаці складається із 24 завдань з відповідями та із завдань з цікавим змістом (вірм. «Խրախճանականներ»). Майже у всіх завданнях з задачника Ананії Ширакаці відображено життя вірменського народу: або в умовах йдеться про події вірменської історії, або застосовуються вірменські міри[9]. Завдання — лінійні, з одним невідомим, в одному (№ 22) потрібно поділити величину в арифметичній прогресії. Дроби, що зустрічаються в завданнях, записані у вигляді сум частин одиниці[9].

На початку VII століття у Візантії, державною релігією якої було християнство, починається серйозна боротьба проти язичницької науки і її представників. У зв'язку з цими подіями, значення природничих наук і математики у Вірменії сильно падає. Про це пише Ананія Ширакаці в автобіографії[10][11].

Істориками науки показано, що починаючи з I століття до н. е. у Вірменії застосовували такі міри довжини[12]: аспарез (по повітрю), рівний ${\displaystyle 107{\frac {1}{7}}}$ крокам, аспарез (по землі) — ${\displaystyle 142{\frac {6}{7}}}$ і ${\displaystyle 150}$ крокам, градус, що містить в собі ${\displaystyle 500}$ аспарезів. Миля становила ${\displaystyle 7}$ аспарезов і в одному випадку дорівнювала ${\displaystyle 1000}$ кроків, в іншому — ${\displaystyle 1050}$, а крок — ${\displaystyle 6}$ стопам, стопа — ${\displaystyle 16}$ пальцям. У VII столітті у Вірменії відстань між двома містами міряли милями, а відстань між планетою і Землею — аспарезами[13]. Вся інформація про міри довжини була наведена у праці Ананія Ширакаці «Ашхарацуйц» (вірм. Աշխարհացույց)[14].

Григор Магістрос

Продовжувачем традицій Ширакаці є відомий візантійський математик і механік вірменського походження Лев Математик (бл. 790 — бл. 869). У Константинополі він займався викладанням математики, а у 863 році створив і став першим ректором Константинопольського університету. В математиці Лев систематично застосовував літери як арифметичні символи, передбачаючи становлення алгебри; він значно спростив складну символіку Діофанта і зробив подальший крок у розвитку алгебричного напрямку в математиці[15]. Значний внесок в галузі математичної освіти кінця XI початку XII століття має Ованес Імастасер (Любомудрий), відомий також як Іоанн Саркаваг (1045/55—1129). З його математичних праць видно, що у вірменських середньовічних школах окрім практичної вивчали також теоретичну арифметику — теорію чисел. Одна з його праць включає вірменську версію таблиць множення Піфагора. Його твір «Багатокутні числа» спирався на «Арифметику» Нікомаха[9]. Ованес Імастасер є автором праці «Полігональні числа», яка використовувалася в якості підручника у XI—XII століттях[16].

Математична освіта у Вірменії досягла високого рівня у XI—XIV століттях у вірменських середньовічних університетах: у Гладзорському університеті (заснований у 1282 році), в Татевському університеті (заснований у 1373 році), також у школах Ані, Ахпата і в інших навчальних закладах, зокрема й за межами Вірменії[1].

Також продовжувачем традицій Ширакаці є візантійський математик вірменського походження XIV століття Микола Рабдас Артавазд[17]. Збереглися його два листи грецькою мовою. В одному з них йдеться про те, як можна подати пальцями руки числа від 1 до 9999, а в іншому — про добування квадратного кореня з чисел[18].

У вірменських школах використовувалися праці грецьких класиків. Вірменські вчені займалися перекладами цих праць. «Начала» Евкліда були перекладені вірменською мовою кількома авторами. Окремі частини перекладу, що збереглися, відносяться і до Ананії Ширакаці, і до Григора Магістроса (переклав безпосередньо з грецького тексту в 1051 році)[19][9], і до інших. Згідно з Г. Б. Петросяном, найстарішим, після арабського, перекладом «Начал» Евкліда є вірменський переклад Григора Магістроса. Фрагменти «Начал» Евкліда у вірменському перекладі, що дійшли до нас, містять переліки постулатів і аксіом, що були покладені в основу «Начал»; вони проливають нове світло зокрема на постулат про паралельні[20][21]. У 1959 році було виявлено ще один переклад «Начал», зроблений Григором Кесарці в XVII столітті[22].

У 1921 році в Єревані було засновано вірменський університет[38]. Викладання вищої математики почали з дня заснування університету на технічному факультеті і факультеті природознавства, а математиків готували, починаючи з 1924 року, на фізико-математичному відділі педагогічного факультету[38]. Але в період 1921—1933 років в університеті готували тільки вчителів математики для загальноосвітніх і середніх професійних шкіл[39]. Вже після 1933 року фізико-математичний факультет Єреванського державного університету став дійсно університетським факультетом з 5-річним навчальним планом, там стали готувати вчених-математиків[39]. У 1959 році фізико-математичний факультет був розділений на механіко-математичний і фізичний факультети. З 1963 року на факультеті почали готувати вчених у галузі математичної кібернетики, а в 1972 році був створений факультет прикладної математики та інформатики[40].

Самостійна науково-творча діяльність у галузі математики в Радянській Вірменії почалася у 1937—1941 роках, коли кілька випускників фізико-математичного факультету Єреванського державного університету продовжили навчання в Москві і в Ленінграді, захистили дисертації і повернулися в Єреван[41].

Будівля Президії Національної академії наук Республіки Вірменія	Будівля Єреванського державного університету	Будівля Національного політехнічного університету Вірменії

У 1943 році було засновано Академію наук Вірменської РСР (на основі Вірменської філії Академії наук СРСР, створеної в 1935 році, нині — Національна академія наук Республіки Вірменія)[42]. В 1944 році було створено відділення механіки і математики АН Вірменської РСР. Пізніше відділення було перетворено на Інститут математики і механіки АН Вірменської РСР}}. Інститут математики був виділений в окрему організацію в 1971 році. У 1956 році був створений Єреванський науково-дослідний інститут математичних машин (нині — Єреванський науково-дослідний інститут автоматизованих систем управління). У 1957 році був створений Обчислювальний центр АН Вірменської РСР (нині — Інститут проблем інформатики і автоматизації НАН РВ), де почали досліджувати математичні проблеми кібернетики та обчислювальної техніки, математичну забезпеченість систем автоматизації, автоматизацію наукових досліджень. Великим центром досліджень в галузі прикладної математики, інформатики і комп'ютерних систем також є Національний політехнічний університет Вірменії. У 1961 році в НПУВ було створено факультет комп'ютерних систем та інформатики. Також в університеті є факультети прикладної математики і фізики, кібернетики[43].

Поштова марка Вірменії, присвячена Арташесу Ліпаритовичу Шагіняну

Біля витоків створення вірменської математичної школи стояв академік АН Вірменської РСР Арташес Шагінян (1906—1978)[44]. Арташес Шагінян був першим радянським вірменським математиком[45]. Після закінчення аспірантури Ленінградського університету в 1937 році він повернувся в Єреван, успішно займався одночасно науковою і педагогічною роботою[46]. Послідовниками вірменської математичної школи стали: М. М. Джрбашян, С. М. Мергелян, Р. А. Александрян, Н. Х. Арутюнян, Г. Б. Петросян, В. В. Сагателян, Н. Г. Гаспарян[47], Г. В. Бадалян[48], Н. Є. Товмасян, А. А. Талалян, В. А. Мартиросян, І. Г. Хачатрян, Г. А. Амбарцумян; сучасні вчені В. С. Захарян, А. Б. Нерсісян, Р. В. Амбарцумян, Н. У. Аракелян, Г. Г. Геворкян, А. А. Саакян та багато інших[49].

Дослідження питань про повноту поліномів у комплексній області у Вірменії були розпочаті в кінці 1930-х років Арташесом Шагіняном[50] і активно продовжувались у 1940-х роках академіками АН Вірменської РСР Мхітаром Джрбашяном (1918—1994) і Сергієм Мергеляном (1928—2008)[51][52]. Була досліджена можливість наближення функцій поліномами, а також питання про найкраще наближення, щодо інтегральної та рівномірно-вагової метрик[51]. У разі інтегральних метрик були отримані точні ознаки для деяких широких класів областей. Було отримано повний розв'язок рівномірно-вагового поліномного наближення для дійсної осі[51]. Так з половини 1940 рр. почалася організація вірменської математичної школи теорії функцій[51].

Сергієм Мергеляном було отримано розв'язок для рівномірного наближення поліномами в комплексній області[51]. Цей метод був успішно застосований також у питаннях про можливості рівномірного наближення раціональними функціями, про найкраще поліномне наближення[51]. Ці роботи Сергія Мергеляна було відзначено Сталінською премією.

У 1950-х роках Мхітаром Джрбашяном були розпочаті дослідження середнього, рівномірного і дотичного наближень цілими функціями, які отримали остаточний розв'язок у 1960-1970-х роках[51]. Повністю були розв'язані задачі про рівномірне наближення аналітичними (частково цілими) функціями, задача про опис швидкості дотичного наближення[51].

Академіком АН Вірменської РСР Норайром Аракеляном були отримані розв'язки кількох загальних задач про найкращі наближення цілими функціями. Ці роботи Норайра Аракеляна були відзначені премією Ленінського комсомолу[51]. Ці результати були успішно застосовані в теорії розподілу значень[51]. Починаючи з 1970-х років, Мхітаром Джрбашяном та іншими були здійснені дослідження повноти і базисності деяких систем аналітичних функцій[51]. Норайром Аракеляном були отримані цінні результати про взаємозв'язок питань про класичне аналітичне продовження і теорію комплексного наближення[51].

Серйозні дослідження в галузі теорії функцій у Вірменії почалися в 1945 році, коли Мхітаром Джрбашяном була побудована теорія факторизації необмежених мероморфних функцій в області[51]. У 1950—1960 роках Мхітаром Джрбашяном досліджувалися питання гармонійного аналізу в комплексній області та теорії інтегральних перетворень[51]. Джрбашян побудував ідеальну теорію перетворень виду Фур'є — Планшереля для довільної системи променів, що виходять з однієї точки; отримав нові фундаментальні результати в поданні загальних і аналітичних функцій; розширив і розробив відому класичну теорію Пелі — Вінера; разом з учнями розробив теорію дискретного гармонічного аналізу в комплексній області[51]. У 1963 році Мхітаром Джрбашяном були визначені нові класи мероморфних функцій, пов'язаних з функціями на ${\displaystyle (-1,+\infty )}$, які в змозі включити довільні мероморфні функції в крузі, була розроблена теорія параметричного подання даних функцій[51].

Дослідження в цій галузі провів і академік НАН РВ Ванік Захарян. Мхітаром Джрбашяном і Ваніком Захаряном були досліджені граничні властивості підкласів мероморфних функцій обмеженого виду[51].

Питаннями дефектних значень загальних і мероморфних функцій займався Норайр Аракелян[51]. Вперше використавши методи в теорії наближень, Норайр Аракелян спростував відому гіпотезу Рольфа Неванлінни про дефектні значення цілих функцій скінченного порядку[51].

В геометричній теорії мероморфних функцій і в теорії розподілу значень нові результати отримав Григорій Барсегян, розробивши теорію Неванлінни — Альфонса[51].

У дослідженнях теорії аналітичних функцій важливе місце займають питання про єдиність, зокрема про квазіаналітичність[51]. Розробляючи відомі результати Лоренца Ланделефа, Арташес Шагінян отримав «внутрішні» інтегральні ознаки для аналітичних функцій в крузі, які в подальшому поширив на мероморфні функції в крузі[51]. Деякі з цих результатів Ванік Захарян поширив на класи Джрбашяна[51].

Мхитар Джрбашян, ґрунтуючись на своїй теорії гормонального аналізу в комплексній області, узагальнив класичну ідею про квазіаналітичність Данжуа — Карлемана, побудувавши теорію ${\displaystyle \alpha }$-квазианалитичных класів[51].

Важливі дослідження в галузі квазіаналітичних функцій має Гайк Бадалян[53]. Він ввів деяке узагальнення поняття похідної і, спираючись на нього, побудував спеціальні ряди, більш загальні, ніж тейлорівські[53]. Ці ряди виявилися відповідним аналітичним засобом для подання функцій деяких квазіаналітичних класів[53].

Олександр Андранікович Талалян

Дослідження в галузі функцій дійсної змінної (аналітичних функцій) у Вірменії почалися в 1950-х роках[51]. У початковому періоді дослідження в основному стосувалися питання про подання вимірних функцій ортогональними (зокрема — тригонометричними) рядами і до питання про одиничність цих рядів[51]. У цій галузі здійснив дослідження академік НАН РВ Олександр Талалян (1928—2016)[51]. Олександр Талалян довів загальні теореми, згідно з яким рядами повних ортогональних систем можуть бути подані всі вимірні функції[51]. З 1965 року під керівництвом Олександра Талаляна ведуться дослідження загальних ортогональних систем і базисів[54]. Отримані важливі результати про існування універсальних (у різних сенсах) ортогональних рядів[54]. Розв'язана задача відновлення рядів Уолша, схожих з інтегровними функціями, і доведено такі теореми єдиності типів Кантора і Валле Пуссена для систем Гаара і Уолша, подібні з якими для тригонометричних систем не існували або не були відомі до цього[54].

Деякі дослідження в галузі теорії функцій комплексної змінної здійснив Гайк Бадалян[55]. Задача Сеге про покриття відрізків розв'язана Гайком Бадаляном для обмежених функцій з класу ${\displaystyle S}$[55].

Дослідження в галузі функціонального аналізу почалися в 1950-х роках в Єреванському університеті та в Інституті математики АН Вірменської РСР, і були присвячені питанню про подібність граничних задач нового типу в гільбертовому просторі з задачею Коші[54]. Ці дослідження здійснив академік АН Вірменської РСР Рафаель Александрян (1923—1988)[54]. За цикл робіт «Математичні дослідження з якісної теорії обертової рідини» він був удостоєний Державної премії СРСР. Надалі кількома вченими була розширена тематика досліджень в галузях функціонального аналізу та інтегрального та диференціального числень[54]. Основними напрямками досліджень були: теорія операторів, операторні рівняння, спектральна теорія самоспряжених операторів[54]. Була розроблена ідея ядра спектру, особливо термін резольвенти довільного самосопряженного оператора, а також універсальний спосіб побудови повної системи власних функціоналів і теореми про спектральний аналізі за даними функціоналами[54]. Було виявлено асимптотичні періодичні умови розв'язків нестаціонарних операторних рівнянь деяких класів, що містять рівняння Шредінгера[54].

Вперше на зворотні задачі спектрального аналізу диференціальних операторів і на їх важливість для застосувань звернув увагу Віктор Амбарцумян (йому ж належить такий перший результат у цих задачах: якщо для безперервної функції ${\displaystyle \varphi (x)}$ крайова задача ${\displaystyle y^{''}+\pi (x)y+\lambda y=0}$, де ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi }$ і ${\displaystyle y^{'}(0)=y^{'}(\pi )=0}$має спектр ${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}~(n=1{,}~2{,}~3{,}\cdots )}$, то ${\displaystyle \varphi (x)=0}$)[56]. Академік АН СРСР Віктор Амазаспович Амбарцумян (1908—1996) є одним з найбільших астрофізиків XX століття. Важливі також його праці з суміжних з астрофізикою наук: математики і фізики.

Деякі з результатів про спектр диференціального оператора ${\displaystyle L}$ у просторі ${\displaystyle L(0,\infty )}$ перенесені академіком АН Вірменської РСР, радіофізиком Радіком Мартиросяном на диференціальні оператори в часткових похідних[57].

Дослідження у галузі інтегрального та диференціального числень почалися у Вірменії в 1930-х роках[54]. У цей період вірменські математики отримали деякі результати про параболічні рівняння[54]. Узагальнені дослідження велися з 1948 року Рафаелем Александряном[54]. Основними темами досліджень були еліптичні, гіпоеліптичні, гіперболічні, слабкі гіперболічні, інтегральні (зокрема сингулярні інтегральні) рівняння[54]. Досліджувалися граничні задачі нового типу для деяких некласичних систем диференціальних рівнянь, для рівняння коливання струни в області Діріхле; було розроблено поняття узагальненої власної функції[54]. Ішханом Саргсяном досліджено спектральний аналіз задачі Штурма — Ліувілля, отримані результати поширені на однорідні системи Дірака[54]. Також досліджувалися обернена задача Штурма — Ліувілля і обернена задача теорії розсіяння за наявності рівнянь високого порядку[54].

У галузях теорії ймовірностей і математичної статистики дослідження у Вірменії почалися в повоєнний час[54]. Було отримано низку результатів з теорії випадкових процесів, а в подальшому про критерій ${\displaystyle \chi ^{2}}$[54].

У 1970—1980 роках роботами академіка АН Вірменської РСР Рубена Амбарцумяна було створено новий науковий напрямок — комбінаторна інтегральна геометрія[54]. Комбінаторна інтегральна геометрія успішно застосовувалася в дослідженні розв'язків задач стохастичної геометрії, зокрема, розв'язані задачі стереології геометричних випадкових процесів[54]. Також досліджувалися інші питання стохастичної геометрії[54].

Дослідження в галузі алгебри почалися в 1950-х роках. Досліджувалися питання про подання квадратних матриць, про аналіз некомпактных простих груп Лі, про дослідження тотожностей другого степеня в універсальних алгебрах і в алгебрах другого степеня та інші[58]. Систематичне застосування нескінченних систем рівнянь до розв'язування конкретних задач математичної фізики і в зв'язку з цим розвиток методів дослідження і розв'язування систем, що тут виникають, здійснені у працях вірменських математиків: Б. Л. Абраамяна, Е. А. Александрян, Н. Х. Арутюняна, Н. О. Гулканян, М. М. Джрбащяна, Б. А. Костандяна, Р. С. Мінасяна, О. М. Сапонджяна, М. С. Саркісяна, К. С. Чобаняна[59].

В сьогоднішній час у Вірменії основні математичні дослідження ведуться в Інституті математики НАН РВ і в Єреванському державному університеті. У перші роки роботи Інститут математики НАН РВ займався переважно теорією функцій. З часом сфера досліджень розширилася і в даний час включає комплексний аналіз, дійсний аналіз, диференціальне та інтегральне числення, теорію ймовірностей, математичну статистику, математичну фізику[60].

В сучасній Вірменії видаються такі математичні журнали: «Вісті НАН Вірменії: Математика» (Національна академія наук Республіки Вірменія, головний редактор — Артур Саакян)[61], Вірменський журнал математики (Національна академія наук Республіки Вірменія, головний редактор — Анрі Нерсісян)[62], Математика у вищій школі (Національний політехнічний університет Вірменії, головний редактор — Ванік Захарян), «Вісник ЄДУ. Серія фізики і математики» (Єреванський державний університет, головний редактор — Варужан Атабекян)[63], також діє Вірменський математичний союз, який об'єднує математиків країни[64].