Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)

Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)

це матрична функція $\Psi (t)$ чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи.

Тоді загальний розв'язок системи можна записати як $\mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c}$ , де $\mathbf {c}$ вектор сталих.

Матрична функція $\Psi$ є фундаментальною матрицею для ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$ тоді і тільки тоді, коли

${\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)$ і
$\Psi$ несингулярна для всіх $t$ .[1]

Нормалізована фундаментальна матриця

Унікальна матриця ${\tilde {\Psi _{t_{0}}(t)}}$ , що задовольняє умові

${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}=A{\tilde {\Psi }}_{t_{0}},\ \ {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}(t_{0})=\mathrm {I}$

називається нормалізована фундаментальна матриця в $t_{0}$ для $A.$

Оскільки змінна $t$ зазвичай позначає час, то зручно нормалізувати в точці $t_{0}=0,$ що дозволяє швидко знайти розв'язок для задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо $\mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},$ то розв'язком буде ${\tilde {\Psi }}_{0}\mathbf {x} _{0}.$

Обчислити матрицю можна так ${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}(t)=\Psi (t)\ \Psi (t_{0})^{-1}.$

Примітки

Chi-Tsong Chen. 1998. Linear System Theory and Design (3rd ed.). Oxford University Press, Inc., New York, NY, USA.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Chi-Tsong Chen. 1998. Linear System Theory and Design (3rd ed.). Oxford University Press, Inc., New York, NY, USA.