Метод характеристик

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється на звичайне диференціальне рівняння. Щойно такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити на розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо таке квазілінійне рівняння на невідому функцію ${\displaystyle u(x,y)}$

${\displaystyle a(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial x}}+b(x,y,u){\frac {\partial u}{\partial y}}=c(x,y,u).(1)}$

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R³. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

${\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).\,}$

В результаті одержимо [1], що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

${\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}$

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином [2]

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}$

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}$

1. John, 1991
2. Delgado, 1997