Симплектична група

В математиці симплектичною групою називають групу симплектичних відображень чи еквівалентно симплектичних матриць на симплектичному векторному просторі над деяким полем. У випадку поля комплексних чисел так також називають певні компактні підгрупи груп симплектичних матриць (інші назви цієї групи — унітарні чи компактні симплектичні групи).

Група (математика)
Теорія груп

Симплектичні групи є прикладами так званих класичних груп. Вони мають широке застосування у геометрії, фізиці, теорії груп Лі (зокрема компактні симплектичні групи є однією з чотирьох нескінченних послідовностей груп, які разом з п'ятьма винятковими групами є основою для класифікації всіх компактних груп Лі).

Означення

В загальному випадку симплектичною групою для модуля з заданою на ньому симплектичною (кососиметричною і білінійною) формою над комутативним кільцем називається група автоморфізмів, що не змінюють дану симетричну форму.

Особливе значення має випадок, коли є полем і — невиродженою симплектичною формою. Тоді група лінійних перетворень породжується лінійними перетвореннями , що рівні Кожне з цих перетворень очевидно зберігає значення симплектичної форми.

Еквівалентно симплектичну групу порядку 2n можна означити як групу матриць, що задовольняють умову де

Симплектичну групу порядку 2n над полем позначають або іноді В даній статті використовуватиметься перше позначення.

Властивості

  • Визначники всіх симплектичних матриць рівні 1, тобто симплектична група є підгрупою спеціальної лінійної групи.
  • Центром групи для полів характеристики 2 є матриця а для інших полів центр складається з матриць і Факторгрупа по центру групи називається проективною симплектичною групою. Ці групи є простими окрім груп де —поле p q елементів.
  • Порядок групи рівний
  • Алгебра Лі групи (як алгебраїчної групи) є алгебра матриць , для яких виконується рівність:
де — матриця описана вище. Еквівалентно матриці з цієї алгебри Лі це матриці, які можна записати у блочному виді:
де всі блоки є квадратними матрицями порядку n і B і C є симетричними матрицями.

Дійсні комплексні симплектичні групи Лі

Серед усіх симплектичних груп особливе значення мають групи симплектичних груп над полем дійсних чисел і симплектичних груп над полем комплексних чисел. Усі ці групи для довільних порядків є групами Лі. Вони задовольняють таким властивостям:

  • є простою групою Лі (зокрема її алгебра Лі є простою), однозв'язною, некомпактною. Її розмірність як комплексного многовида рівна n(2n + 1), розмірність як дійсного аналітичного многовида відповідно 2n(2n + 1).
  • Алгебри Лі комплексних симплектичних груп, що позначаються утворюють нескінченну послідовність простих алгебр Лі, що є однією з чотирьох нескінченних серій простих алгебр Лі, що разом з п'ятьма виключними алгебрами Лі вичерпують множину всіх простих алгебр Лі.
  • є простою некомпактною зв'язаною але не однозв'язною групою Лі.
  • має тип гомотопії групи тож її фундаментальна група рівна
  • Алгебра Лі є дійсною формою алгебри Лі тобто комплексифікація алгебри рівна
  • Як многовид є дифеоморфним добутку
  • Довільний елемент групи є добутком двох елементів, що є образами експоненти, тобто

Групи Sp(p,q)

Окрім групи іншими дійсними формами групи (тобто підгрупами комплексифікація алгебр Лі для яких є рівною ) є групи, що позначаються де

Елементами групи є матриці з , що залишають незмінними ермітові форми виду де є рівним 1 для або і є рівним -1 для всіх інших значень i.

Група є ізоморфною групі лінійних перетворень векторного простору (де ) над тілом кватерніонів що зберігають незмінною кватерніонну ермітову форму, тобто форму виду:

де — координати векторів кватерніонів, а риска зверху означає спряження в тілі кватерніонів.

Група Sp(n)

Серед груп найважливішими є групи , які переважно позначають Ці групи теж часто називають симплектичними, хоча вони не є такими згідно означення даного вище. Вони мають наступні властивості

  • тому для часто також використовується позначення
  • В тих же позначеннях, що і вище група є ізоморфною групі лінійних перетворень кватерніонного векторного простору, що зберігають незмінними ермітові форми тобто
  • є компактною однозв'язною простою дійсною групою Лі, розмірність якої рівна n(2n + 1). Її алгебра Лі є єдиною компактною дійсною формою алгебри Якщо розглядати як групу кватерніонних унітарних матриць, то її алгебра Лі є алгеброю кватерніонних матриць для яких виконуються умови де — матриця отримана транспонуванням і кватерніонним спряженням. Дужками Лі при цьому є комутатор матриць
  • Групи утворюють одну з чотирьох нескінченних серій компактних простих однозв'язних груп Лі, які є ключовими для класифікації всіх компактних груп Лі.
  • Як дійсний многовид є дифеоморфним добутку

Основні властивості груп , і подані у таблиці нижче:

Матриці Група Лі Dim/ℝ Dim/ℂ Компактність π1
Sp(2n,ℝ) дійсна n(2n + 1)
Sp(2n,ℂ) комплексна 2n(2n + 1) n(2n + 1) 1
Sp(n) дійсна n(2n + 1) x 1

Див. також

Посилання

Література

  • Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Graduate Texts in Mathematics 60 (вид. second). Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.
  • Hall, Brian C. (2003). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222. Springer-Verlag. ISBN 0-387-40122-9.
  • Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation Theory, A first Course. Graduate Texts in Mathematics 129. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8..
  • Goldstein, H. (1980). Chapter 7. Classical Mechanics (вид. 2nd). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
  • Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95448-1.
  • Rossmann, Wulf (2002). Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford Science Publications. ISBN 0 19 859683 9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.