Задача Кеплера в загальній теорії відносності

У звичайній евклідовій геометрії виконується теорема Піфагора, яка стверджує, що квадрат відстані ds² між двома нескінченно близькими точками простору дорівнює сумі квадратів диференціалів координат

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\,\!}$

де dx, dy і dz — нескінченно малі різниці між координатами точок по осях x, y і z декартової системи координат. Тепер уявімо собі світ, в якому це вже неправильно, а відстані задаються співвідношенням

${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)dx^{2}+G(x,y,z)dy^{2}+H(x,y,z)dz^{2},\,\!}$

де F, G і H — деякі функції положення. Це неважко уявити, оскільки ми живемо в такому світі: поверхня Землі зігнута, так що її не можна без спотворень подати на плоскій карті. Недекартові координатні системи також можуть бути прикладом: у сферичних координатах (r, θ, φ) евклідова відстань записується як

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}.\,\!}$

Нарешті, в загальному випадку ми маємо допустити, що лінійки можуть змінювати свою координатну довжину не тільки під час зміни положення, але й при поворотах. Це призводить до появи перехресних членів у виразі для довжини

${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}dx^{2}+g_{xy}dxdy+g_{xz}dxdz+g_{yy}dy^{2}+g_{yz}dydz+g_{zz}dz^{2}\,\!}$

де 6 функцій g_xx, g_xy і так далі перетворюються при зміні координат як компоненти тензора, званого метричним (або просто метрикою), який визначає всі характеристики простору в цій узагальненій рімановій геометрії. У сферичних координатах, наприклад, у метриці немає перехресних членів, а єдині її ненульові компоненти — це g_rr = 1, g_θθ = r2 і g_φφ = r2 sin2 θ.

Зазначимо окремо, що після задання метричного тензора в якійсь системі координат вся геометрія ріманового простору виявляється жорстко заданою, і не змінюється при перетвореннях координат. Простіше кажучи, координати — це довільні числа, які лише вказують на точку простору, а відстань, виміряна фізичною лінійкою між двома зафіксованими точками, не залежить від того, які координати ми присвоюємо їм — є інваріантом при зміні координатних сіток.

У спеціальній теорії відносності Альберт Ейнштейн показав, що відстань ds між двома точками в просторі не є інваріантом, а залежить від руху спостерігача. Ця відстань виявляється проєкцією на одночасний простір істинно інваріантної величини — інтервалу, що не залежить від руху спостерігача, але включає крім просторових також і часову координату точок простору-часу, званих при цьому подіями

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.\,\!}$

Аналогічно можна переписати інтервал у сферичних координатах

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}.\,\!}$

Ця формула являє собою природне узагальнення теореми Піфагора і справедлива за відсутності кривини простору-часу. У загальній же теорії відносності простір-час викривлено, так що «відстань» виражається загальною формулою

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },\,\!}$

де застосоване правило підсумовування Ейнштейна — за індексом, що зустрічається вгорі і внизу, мається на увазі підсумовування за всіма його значеннями, в цьому випадку — чотирма (трьома просторовими і однією часовою координатою). Точні значення компонент метрики визначаються розподілом гравітуючої речовини, її маси, енергії та імпульсу, через рівняння Ейнштейна. Ейнштейн вивів ці рівняння, виходячи з відомих законів збереження енергії та імпульсу; однак розв'язки цих рівнянь передбачили явища, які раніше не спостерігались, на зразок відхилення світла, підтверджені пізніше.

Єдиним розв'язком рівнянь Ейнштейна (без космологічної сталої) для зовнішнього гравітаційного поля сферично-симетрично розподіленої матерії (енергії-імпульсу) є метрика Шварцшильда.

${\displaystyle {ds}^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

де

c — швидкість світла в метрах на секунду,

t — часова координата в секундах (що збігається з часом, відлічуваним нескінченно віддаленим нерухомим годинником),

r — радіальна координата в метрах (визначається як довжина кола з центром у точці симетрії поділена на 2π),

θ і φ — кути в системі сферичних координат у радіанах,

r_s — радіус Шварцшильда (в метрах), що характеризує тіло масою M і дорівнює

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

де G — гравітаційна стала.[14]

Класична теорія гравітації Ньютона є граничним випадком за малих r_s/r. На практиці це відношення майже завжди дуже мале. Наприклад, для Землі радіус Шварцшильда становить приблизно 9 міліметрів, тоді як супутник на геостаціонарній орбіті міститься на ${\displaystyle r\simeq 42164}$ км. Для Сонячної системи це відношення не перевершує 2 мільйонних, і лише для ділянок поблизу чорних дір і нейтронних зір воно стає істотно більшим (до декількох десятих).

Згідно з загальною теорією відносності, частинки знехтовно малої маси рухаються по геодезичних лініях простору-часу[15]. В невикривленому просторі далеко від будь-яких притягувальних тіл ці геодезичні являють собою прямі лінії. В присутності джерел гравітації це вже не так, і рівняння геодезичних записуються так[16]:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$

де Γ — символи Крістофеля, а змінна q параметризує шлях частинки крізь простір-час — її світову лінію, і називається канонічним параметром геодезичної лінії. Символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора g_μν, точніше від того, як він змінюється від точки до точки. Для часоподібних геодезичних, по яких рухаються масивні частинки, параметр q збігається з власним часом τ з точністю до сталого множника, який зазвичай беруть рівним 1. Для часоподібних світових ліній безмасових частинок (таких як фотони) параметр q не можна взяти рівним власному часу, оскільки він дорівнює нулю, але форма геодезичних все одно описується цим рівнянням. Крім того, світлоподібні геодезичні можна отримати як граничний випадок часоподібних при прямуванні маси частинки до 0 (якщо зберігати сталою енергію частинки).

Можна спростити задачу, скориставшись її симетрією — так ми виключимо з розгляду одну змінну. В будь-якому сферично-симетричному випадку рух відбувається в площині, яку можна вибрати за площину θ = π/2. Метрика в цій площині має вигляд

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}.}$

Оскільки вона не залежить від ${\displaystyle \varphi }$ і ${\displaystyle t}$, то існують два інтеграли руху (див. висновок нижче)

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

Підставивши ці інтеграли в метрику, маємо

${\displaystyle c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

так що рівняння руху частинки стають такими

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\right).}$

Залежність від власного часу можна виключити, скориставшись інтегралом L

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{2}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}\left({\frac {mr^{2}}{L}}\right)^{2},}$

тому рівняння орбіт стає таким

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),}$

де для стислості введено дві характерні довжини a і b

${\displaystyle a={\frac {L}{mc}},}$

${\displaystyle b={\frac {cL}{E}}.}$

Те ж рівняння можна вивести з лагранжевого підходу[17] або скориставшись рівнянням Гамільтона — Якобі[18] (див. далі). Розв'язок рівняння орбіт дається виразом

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}}}.}$

Відхилення світла зір гравітаційним полем Сонця, виміряне астрономічною експедицією Еддінгтона (1919 рік) і, як виявилося, узгоджене із загальною теорією відносності, поклало початок широкомасштабному визнанню теорії Ейнштейна.

В границі маси частинки m, що прямує до нуля (або, еквівалентно, ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$), рівняння орбіти переходить у

${\displaystyle \varphi =\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {1}{r^{2}}}}}}}.}$

Розкладаючи цей вираз за степенями відношення r_s/r, у першому наближенні отримуємо відхилення δφ безмасової частинки при прольоті повз гравітуючий центру:

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {2r_{s}}{b}}={\frac {4GM}{c^{2}b}}.}$

Константу b тут можна інтерпретувати як прицільний параметр — відстань найбільшого наближення. Наближення, використане при виведенні цієї формули, досить точне для більшості практичних застосувань, зокрема для вимірювання гравітаційного лінзування. Для світла, що проходить поблизу сонячної поверхні, відхилення становить близько 1,75 кутової секунди.

Ефективний потенціал для різних значень моменту імпульсу. За малих r потенціал зменшується (на відміну від класичної задачі Кеплера), дозволяючи частинці падіння на центр. Проте, при ${\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}>{\sqrt {3}}}$ народжена зовні частинка не може подолати потенціальний бар'єр і уникає захоплення. При граничному нормованому кутовому моменті ${\displaystyle a/r_{s}={\sqrt {3}}}$ існує метастабільна колова орбіта, позначена зеленим колом, і є нескінченно накручувана на неї і скручувна з неї спіральні орбіти. За малих ${\displaystyle a/r_{s}}$ частинка захоплюється і падає на центр.

Рівняння руху частинки в полі Шварцшильда

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}+{\frac {r_{s}L^{2}}{m^{2}r^{3}}}}$

можна переписати, використовуючи визначення гравітаційного радіуса r_s:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}}$

що еквівалентно руху нерелятивістської частинки з енергією ${\displaystyle {\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}}$ в одновимірному ефективному потенціалі

${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GML^{2}}{c^{2}mr^{3}}}.}$

Перші два члени відповідають відомим класичним: гравітаційному потенціалу тяжіння Ньютона і відцентровому потенціалу відштовхування, і тільки третій член не має аналога в класичній задачі Кеплера. Як показано нижче, і в іншій статті, такий член приводить до прецесії еліптичних орбіт на кут δφ за кожен оборот

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$

де A — велика піввісь орбіти, а e — її ексцентриситет.

Третій член має характер притягання та змінює поведінку потенціалу за малих r — замість того, щоб йти в ${\displaystyle +\infty }$, перешкоджаючи падінню частинки на центр (як це було в класичній задачі Кеплера), потенціал йде на ${\displaystyle -\infty }$, дозволяючи частинці падати (див. детальніше падіння в чорну діру).

Радіуси стійких (синя крива) і нестійких (червона крива) орбіт в залежності від нормованого кутового моменту a/r_s = L/mcr_s. Графіки зустрічаються в єдиній точці (обведеній зеленим колом), де ${\displaystyle a/r_{s}=L/mcr_{s}={\sqrt {3}}}$. Для порівняння наведено також радіуси завжди стійких орбіт класичної задачі Кеплера (чорна крива).

Ефективний потенціал V можна переписати через параметри довжини a і b

${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$

Кругові орбіти можливі за ефективної сили, що дорівнює нулю

${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0,}$

тобто коли дві притягальні сили — ньютонова гравітація (перший член) і її релятивістська поправка (третій член) — точно збалансовані відцентровою силою відштовхування (другий член). Існують два радіуси, на яких досягається ця компенсація

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right),}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},}$

які прямо виводяться з квадратного рівняння вище. Внутрішній радіус r_inner виявляється нестійким за будь-яких значеннях a, оскільки сила тяжіння там росте швидше, ніж сила відштовхування, тому будь-яке збурення призводить до падіння частинки на центр. Орбіти зовнішнього радіуса стійкі — там релятивістське тяжіння невелике, і їх характер майже збігається з траєкторіями нерелятивістської задачі Кеплера.

Коли a набагато більше за r_s (класичний випадок), розміри орбіт прямують до

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}},}$

${\displaystyle r_{\mathrm {inner} }\approx {\frac {3}{2}}r_{s}.}$

Підставляючи визначення a і r_s в r_outer, отримуємо класичну формулу для частинки на коловій орбіті навколо гравітуючого центра масою M

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }^{3}\approx {\frac {GM}{\omega _{\varphi }^{2}}},}$

де ω_φ — орбітальна кутова швидкість частинки.

Коли a² прямує до 3r_s² (зверху), зовнішній і внутрішній радіуси змикаються до

${\displaystyle r_{\mathrm {outer} }\rightarrow r_{\mathrm {inner} }\rightarrow 3r_{s}.}$

Розв'язок квадратного рівняння гарантує, що r_outer завжди більше 3r_s, а r_inner лежить між ³⁄₂ r_s і 3r_s. Кругові орбіти з радіусом менше ³⁄₂ r_s неможливі. Сама орбіта r_inner = ³⁄₂ r_s є граничним випадком для безмасових частинок, коли ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$, тому сферу цього радіуса іноді називають фотонною сферою.

В нерелятивістській задачі Кеплера частинка рухається завжди по одному й тому ж ідеальному еліпсу (червона орбіта). Загальна теорія відносності змінює силу, що діє на частинку, так що тяжіння зростає швидше, ніж у теорії Ньютона (в шварцшильдових координатах). Це збурення викликає обертання майже еліптичної орбіти (блакитна) — прецесію в напрямку обертання планети; цей ефект надійно виміряний для Меркурія, Венери і Землі. Жовта точка являє собою центр тяжіння, наприклад, Сонце.

Швидкість прецесії орбіти можна вивести з ефективного потенціалу V. Мале відхилення за радіусом від орбіти-кола r=r_outer буде осцилювати з частотою

${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\mathrm {outer} }}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\mathrm {outer} }^{4}}}\right)\left(r_{\mathrm {outer} }-r_{\mathrm {inner} }\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Розкладання в ряд дає

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right).}$

Множення на період обертання T приводить до прецесії на одному обороті

${\displaystyle \delta \varphi =T\left(\omega _{\varphi }-\omega _{r}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2},}$

де ω_φT = 2п і використано визначення a. Підставляючи r_s, отримуємо

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}.}$

Використовуючи велику піввісь орбіти A і ексцентриситет e, пов'язані співвідношенням

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=A\left(1-e^{2}\right),}$

ми приходимо до найвідомішої формули прецесії

${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}.}$

Вводячи безрозмірну змінну

${\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}}$

рівняння орбіти

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right)}$

можна звести до спрощеного вигляду

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3},}$

де сталі безрозмірні коефіцієнти g₂ і g₃ визначені як

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{s}^{2}}{4a^{2}}},\\g_{3}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{s}^{2}}{24a^{2}}}-{\frac {r_{s}^{2}}{16b^{2}}}.\end{aligned}}}$

Розв'язок цього рівняння для орбіти задається у вигляді невизначеного інтеграла

${\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=\int {\frac {d\zeta }{\sqrt {4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}}}}.}$

Звідси випливає, що з точністю до фазового зсуву, ${\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}$, де ${\displaystyle \wp }$ — еліптична функція Веєрштрасса з параметрами g₂ і g₃, і φ₀ — стала інтегрування (можливо комплексна).

Повний якісний аналіз можливих орбіт у полі Шварцшильда вперше провів Ю. Хагихара в 1931 році.

Траєкторії в полі Шварцшильда описуються рівнянням руху

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}.}$

Якщо дискримінант ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ більший від 0, то кубічне рівняння

${\displaystyle G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=0\,}$

має три різних дійсних корені e₁, e₂ і e₃, які можна впорядкувати за спаданням

${\displaystyle e_{1}>e_{2}>e_{3}.}$

У такому разі розв'язок ${\displaystyle \zeta =\wp (\varphi -\varphi _{0})}$ є еліптичною функцією з двома півперіодами, одним чисто дійсним

${\displaystyle \omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}},}$

і другим — чисто уявним

${\displaystyle \omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.}$

Проміжний корінь, що залишився, визначає комплексний півперіод ω₂ = —ω₁ — ω₃. Ці величини пов'язані з відповідними коренями рівнянням ${\displaystyle \wp (\omega _{i})=e_{i}}$ (i= 1, 2, 3). Отже, при ${\displaystyle \varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}}$ (n — ціле число) похідна ζ обертається в 0, тобто траєкторія досягає періастру або апоастру — точки найбільшого наближення і віддалення, відповідно:

${\displaystyle {\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ \mathrm {when} \ \zeta =\wp (-\omega _{i})=e_{i}}$

оскільки

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=G(\zeta )=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right).}$

Якісний характер орбіти залежить від вибору φ₀. Розв'язки із φ₀ = ω₂ відповідають або орбітам, що коливаються від ζ=e₂ до ζ=e₃, або траєкторіями, що йдуть у нескінченність (ζ=-1/12). Навпаки, розв'язки з φ₀, рівним ω₁ або будь-якому іншому дійсному числу, описують орбіти, що сходяться до центру, оскільки дійсне ζ не може бути меншим від e₁ і тому буде неминуче зростати до нескінченності.

Розв'язки ${\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})}$, в яких φ₀ = ω₂, дають дійсні значення ζ за умови, що енергія E задовольняє нерівності E² < m²c⁴. В такому разі ζ приймає значення в інтервалі e₃ ≤ ζ ≤ e₂. Якщо обидва корені більші від −¹⁄₁₂, то ζ не може набути цього значення, яке відповідає відходу частинки на нескінченність, тому тіло буде здійснювати фінітний рух, який можна уявити як рух по прецесуючому еліпсу. Радіальна координата тіла буде нескінченно коливатися між

${\displaystyle r_{min}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{2}}}}$

і

${\displaystyle r_{max}={\frac {3r_{s}}{1+12e_{1}}},}$

які відповідають екстремальним значенням ζ. Дійсний період еліптичної функції Веєрштрасса становить 2ω₁; таким чином, частинка повертається до того ж радіуса, коли кутова координата зростає на 2ω₁, що, взагалі кажучи, відрізняється від 2π. Тому орбіта як правило прецесує, однак при ${\displaystyle r_{min}\ll r_{g}}$ кут прецесії за один оборот (2ω₁ − 2π) досить малий.

Особливий випадок 2e₂ = 2e₃ = −e₃ відповідає розв'язку з ζ = const = e₂ = e₃. Виходить колова орбіта з r = r_outer, не меншим 3r_s. Такі орбіти стійкі, оскільки малі збурення параметрів призводять до розщеплення коренів, приводячи до квазіеліптичних орбіт. Наприклад, якщо частинку трохи «підштовхнути» в радіальному напрямку, то вона стане коливатися поблизу незбуреного радіуса, описуючи прецесуючий еліпс.

При r, що прямує до нескінченності, ζ прямує до −¹⁄₁₂. Тому орбіти, що необмежено віддаляються або наближаються з нескінченності до центрального тіла, відповідають періодичним розв'язкам, у яких −¹⁄₁₂ потрапляє в доступний ζ інтервал, тобто при e₃ ≤ −¹⁄₁₂ ≤ ζ ≤ e₂.

Інший особливий випадок відповідає −e₃ = 2e₂ = 2e₁, тобто два корені G(ζ) додатні і дорівнюють один одному, а третій — від'ємний. Орбіти в такому випадку є спіралями, які скручуються або накручуються при прямуванні φ до нескінченності (не важливо, додатної чи від'ємної) на коло радіуса r, яке визначається співвідношенням

${\displaystyle {\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.}$

Позначивши повторюваний корінь e = n²/3, отримаємо рівняння орбіти, яке легко перевірити безпосередньою підстановкою:

${\displaystyle \zeta ={\frac {r_{s}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{2}}{\cosh ^{2}n\varphi }}.}$

В таких випадках радіальна координата частинки укладена між 2r_s і 3r_s.

Рівняння таких орбіт можна отримати з виразу еліптичної функції Веєрштрасса через еліптичні функції Якобі

${\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}},}$

де ${\displaystyle w=(\phi -\phi _{0}){\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}$ і модуль

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}.}$

В границі збігу e₂ і e₁, модуль прямує до одиниці, а w переходить в n(φ − φ₀). Вибираючи φ₀ уявним, рівним ${\displaystyle iK^{\prime }}$ (чверть періоду), приходимо до наведеної вище формули.

У дійсних розв'язках ${\displaystyle \zeta =\wp (\phi -\phi _{0})}$, в яких φ₀ дорівнює ω₁ або деяким іншим дійсним числам, ζ не може стати меншим від e₁. Через рівняння руху

${\displaystyle \left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{2}=4\zeta ^{3}-g_{2}\zeta -g_{3}=4\left(\zeta -e_{1}\right)\left(\zeta -e_{2}\right)\left(\zeta -e_{3}\right)}$

ζ безмежно зростає, що відповідає падінню на центр r = 0 після нескінченного числа обертів навколо нього.

Перевага цього виведення полягає в тому, що воно застосовне і до руху частинок, і до поширення хвиль, що легко приводить до виразу для відхилення світла в гравітаційному полі при використанні принципу Ферма. Основна ідея полягає в тому, що завдяки гравітаційному уповільненню часу частини хвильового фронту, розташовані ближче до гравітуючої маси, рухаються повільніше, ніж розташовані далі, що призводить до викривлення поширення хвильового фронту.

В силу загальної коваріантності, рівняння Гамільтона — Якобі для однієї частинки в довільних координатах можна записати у вигляді

${\displaystyle g^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=m^{2}c^{2}.}$

У метриці Шварцшильда це рівняння набуде вигляду

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }}\right)^{2}=m^{2}c^{2},}$

де площина відліку ${\displaystyle \theta }$ сферичної системи координат розташована в площині орбіти. Час t і довгота φ — циклічні координати, тому розв'язок для функції дії S запишеться у вигляді

${\displaystyle S=-Et+L\varphi +S_{r}(r)\,,}$

де E — енергія частинки, L — її кутовий момент. Рівняння Гамільтона — Якобі приводить до інтегрального розв'язку для радіальної частини S_r(r)

${\displaystyle S_{r}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)}}.}$

Диференціюючи функцію S звичайним чином

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial L}}=\varphi +{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\mathrm {constant} ,}$

приходимо до рівняння орбіти, отриманого раніше

${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right).}$

Цей підхід можна використовувати для елегантного виведення швидкості прецесії орбіти[19].

В границі нульової маси m (або, що еквівалентно, нескінченного a), радіальна частина дії S стає рівною

${\displaystyle S_{r}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{2}}{\left(r-r_{s}\right)^{2}}}-{\frac {b^{2}}{r\left(r-r_{s}\right)}}}},}$

з цього виразу виводиться рівняння для відхилення променя світла[19].

В загальній теорії відносності вільні частинки зі знехтовно малою масою m, підкоряючись принципу еквівалентності, рухаються по геодезичних у просторі-часі, створюваному масами, що тяжіють. Геодезичні простору-часу визначаються як криві, малі варіації яких — за фіксованих початковій і кінцевій точках — не змінюють їх довжини s. Це можна виразити математично за допомогою варіаційного числення

${\displaystyle 0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,}$

де τ — власний час, s=cτ — довжина в просторі-часі, і величина T визначена як

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{2},}$

за аналогією з кінетичною енергією. Якщо похідну за власним часу для стислості позначити крапкою

${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }},}$

то T можна записати у вигляді

${\displaystyle 2T=c^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\dot {t}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^{2}-r^{2}\left({\dot {\varphi }}\right)^{2}.}$

Сталі величини, такі як c або корінь квадратний з двох, не впливають на відповідь варіаційної задачі, і таким чином, переносячи варіацію під інтеграл, приходимо до варіаційного принципу Гамільтона

${\displaystyle 0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}{\sqrt {2T}}}d\tau ={\frac {1}{c}}\delta \int Td\tau .}$

Розв'язок варіаційної задачі дають рівняння Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^{\sigma }}}\right)={\frac {\partial T}{\partial x^{\sigma }}}.}$

Коли вони застосовуються до t і φ, ці рівняння приводять до існування величин, які зберігаються

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0,}$

що можна записати як рівняння для L і E

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

Як показано вище, підстановка цих рівнянь у визначення метрики Шварцшильда приводить до рівняння орбіт.

Інтеграл дії для частинки в гравітаційному полі має вигляд

${\displaystyle S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}}}dq},}$

де τ — власний час і q — гладка параметризація світової лінії частинки. Якщо застосувати варіаційне числення, то з цього виразу негайно випливають рівняння для геодезичних. Обчислення можна спростити, якщо взяти варіацію від квадрата підінтегрального виразу. В полі Шварцшильда цей квадрат дорівнює

${\displaystyle \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dq}}{\frac {dx^{\nu }}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}.}$

Порахувавши варіацію, отримаємо

${\displaystyle \delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}\left({\frac {dt}{dq}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{2}\right].}$

Взявши варіацію тільки за довготою φ

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{2}{\frac {d\varphi }{dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}}$

поділимо на ${\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$, щоб отримати варіацію підінтегрального виразу

${\displaystyle c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}.}$

Таким чином

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},}$

і інтегрування частинами приводить до

${\displaystyle 0=-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.}$

Варіація за довготою зникає в граничних точках і перший доданок занулюється. Інтеграл можна зробити рівним нулю при довільному виборі δφ тільки якщо інші множники під інтегралом завжди дорівнюють нулю. Таким чином ми приходимо до рівняння руху

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{2}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.}$

При варіації за часом t отримаємо

${\displaystyle 2c^{2}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},}$

що після поділу на ${\displaystyle 2c{\frac {d\tau }{dq}}}$ дає варіацію підінтегрального вираження

${\displaystyle c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}.}$

Звідси

${\displaystyle 0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}}$

і знову інтегрування частинами приводить до виразу

${\displaystyle 0=c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq},}$

з якого випливає рівняння руху

${\displaystyle {\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]=0.}$

Якщо проінтегрувати ці рівняння руху і визначити сталі інтегрування, ми знову прийдемо до рівняння

${\displaystyle r^{2}{\frac {d\varphi }{d\tau }}={\frac {L}{m}},}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{2}}}.}$

Ці два рівняння для інтегралів руху L і E можна поєднати в одне, яке буде працювати навіть для фотона та інших безмасових частинок, для яких власний час уздовж геодезичної дорівнює нулю:

${\displaystyle {\frac {r^{2}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}$

Експериментально виміряне зменшення періоду обертання подвійного пульсара PSR B1913+16 (сині точки) з високою точністю відповідає прогнозам ЗТВ (чорна крива)

Відповідно до загальної теорії відносності, два тіла, що обертаються одна навколо одної, випускають гравітаційні хвилі, що призводить до відмінності орбіт геодезичних, розрахованих вище. Для планет Сонячної системи цей ефект надзвичайно малий, але він може відігравати істотну роль в еволюції тісних подвійних зір.

Змінення орбіт спостерігається в декількох системах, найвідомішою з них є подвійний пульсар, відомий під назвою PSR B1913+16, за дослідження якого Алан Галс і Джозеф Тейлор отримали Нобелівську премію з фізики 1993 року. Дві нейтронні зорі в цій системі розташовані дуже близько одна від одної і здійснюють оберт за 465 хв. Їх орбіта — витягнутий еліпс з ексцентриситетом 0,62. Відповідно до загальної теорії відносності короткий період обертання і високий ексцентриситет робить систему чудовим джерелом гравітаційних хвиль, що спричиняє втрати енергії і зменшення періоду обертання. Спостережувані зміни періоду протягом тридцяти років добре узгоджуються з передбаченнями загальної теорії відносності з найкращого досяжною зараз точністю (близько 0,2 % станом на 2009 рік).

Дві нейтронні зорі, що швидко обертаються одна навколо одної, втрачають енергію шляхом випускання гравітаційного випромінювання. Через втрату енергії вони все більше зближуються і частота обертання зростає

Формулу, що описує втрату енергії та кутового моменту через гравітаційне випромінювання від двох тіл у задачі Кеплера, отримано в 1963 році[20]. Швидкість втрати енергії (усереднена за період) задається у вигляді[21]

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right),}$

де e — ексцентриситет, а a — велика піввісь еліптичної орбіти. Кутові дужки в лівій частині виразу означають усереднення за однією орбітою. Аналогічно для втрати кутового моменту можна записати

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right).}$

Втрати енергії та кутового моменту значно зростають, якщо ексцентриситет прямує до 1, тобто якщо еліпс є дуже витягнутим. Інтенсивність випромінювання збільшується при зменшенні розміру a орбіти. Втрата моменту імпульсу при випромінюванні така, що з часом ексцентриситет орбіти зменшується, і вона прямує до колової з постійно зменшуваним радіусом.

Потужність гравітаційного випромінювання планетних систем мізерно мала, наприклад для Сонячної системи — 5 кВт, з яких близько 90 % припадає на систему Сонце-Юпітер. Це мізерно мало, порівняно з кінетичною енергією планет (очікуваний час життя Сонячної системи на 13 порядков більший від віку Всесвіту). Значно більше випромінювання тісних подвійних зір, наприклад згаданий подвійний пульсар Галса — Тейлора (PSR B1913+16), компоненти якого розділені відстанню порядку радіуса Сонця випромінює гравітаційні хвилі потужністю 7,35 × 10²⁴ Вт, що становить 2 % потужності Сонця. Через втрати енергії відстань між компонентами цієї подвійної системи зменшується на 3,5 м/рік, і через 300 млн років зорі зіллються в одну. В міру зближення компонентів подвійної зорі, потужність гравітаційного випромінювання зростає обернено пропорційно п'ятому степеню відстані між ними, і безпосередньо перед злиттям потужність досягає значних величин: енергія, еквівалентна кільком масам Сонця, випромінюється протягом десятих часток секунди, що відповідає потужності 10⁴⁷ Вт. Це на 21 порядок більше світності Сонця і в мільярди разів більше світності нашої Галактики (саме така велика потужність дозволяє реєструвати гравітаційні хвилі під час злиття нейтронних зір на відстані сотень мільйонів світлових років). Потужність гравітаційних хвиль злиття чорних дір ще більша: в останні мілісекунди перед злиттям вона в десятки разів перевищує світність усіх зір у спостережуваній частині Всесвіту.