Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Рис. 2: Кінець вектора імпульсу ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }$ (показаний синім кольором) рухається по колу, коли частинка здійснює рух по еліпсу. Чотири відмічені точки відповідають точкам на рис. 1. Центр кола розташовується на осі ${\displaystyle \scriptstyle y}$ в точці ${\displaystyle \scriptstyle A/L}$ (показаний пурпурним), з радіусом ${\displaystyle \scriptstyle mk/L}$ (показаний зеленим). Кут ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ визначає ексцентриситет ${\displaystyle \scriptstyle e}$ еліптичної орбіти (${\displaystyle \scriptstyle \cos \eta =e}$). Із теореми про вписаний кут для кола випливає, що ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ є також кутом між будь-якою точкою на колі та двома точками перетину кола з віссю ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}}$, ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}=\pm p_{0}}$.

Збереження вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і вектора кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$ використовується в доведенні того, що вектор імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$ рухається по колу під дією центральної сили, що обернено пропорційна до квадрату відстані. Обчислюючи векторний добуток ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$, приходимо до рівняння для ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} .}$

Спрямовуючи вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$ вздовж осі ${\displaystyle z}$, а головну піввісь — по осі ${\displaystyle x}$, приходимо до рівняння

${\displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.}$

Іншими словами, вектор імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$ обмежений колом радіуса ${\displaystyle mk/L}$, центр якого розташований в точці з координатами ${\displaystyle (0,\;A/L)}$. Ексцентриситет ${\displaystyle e}$ відповідає косинусу кута ${\displaystyle \eta }$, показаного на рис. 2. Для спрощення можна ввести змінну ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$. Коловий годограф корисний для опису симетрії задачі Кеплера.

Сім скалярних величин: енергія ${\displaystyle E}$ і компоненти векторів Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ та моменту імпульсу ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — пов'язані двома співвідношеннями. Для векторів виконується умова ортогональності ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$, а енергія входить до виразу для квадрату довжини вектора Лапласа — Рунге — Ленца, отриманого вище ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$. Тоді існує п'ять незалежних величин, що зберігаються, або інтегралів руху. Це сумісно з шістьма початковими умовами (початкове положення частинки та її швидкість є векторами з трьома компонентами), які визначають орбіту частинки, оскільки початковий час не визначений інтегралами руху. Оскільки величину ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (та ексцентриситет ${\displaystyle e}$ орбіти) можна визначити з повного кутового моменту ${\displaystyle L}$ і енергії ${\displaystyle E}$, то стверджується, що лише напрямок ${\displaystyle \mathbf {A} }$ зберігається незалежно. Крім того, вектор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ повинен бути перпендикулярним до ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — це приводить до однієї додаткової величини, що зберігається.

Механічна система з ${\displaystyle d}$ ступенями вільності може мати максимум ${\displaystyle 2d-1}$ інтегралів руху, оскільки ${\displaystyle 2d}$ початкових умов і початковий час не можуть бути визначені з інтегралів руху. Система з більш ніж ${\displaystyle d}$ інтегралами руху називається суперінтегровною, а система з ${\displaystyle 2d-1}$ інтегралами називається максимально суперінтегровною[19]. Оскільки розв'язування рівняння Гамільтона — Якобі в одній системі координат може привести лише до ${\displaystyle d}$ інтегралів руху, то змінні повинні розділятися для суперінтегровних систем у більш ніж одній системі координат[20]. Задача Кеплера — максимально суперінтегровна, оскільки вона має три ступені вільності (${\displaystyle d=3}$) і п'ять незалежних інтегралів руху; змінні у рівнянні Гамільтона — Якобі розділяються у сферичних координатах і параболічних координатах[21], як описано нижче. Максимально суперінтегровні системи можуть бути квантовані з використанням лише комутаційних співвідношень, як показано нижче[22].

Постійність вектора Лапласа — Рунге — Ленца можна вивести, використовуючи рівняння Гамільтона — Якобі в параболічних координатах ${\displaystyle (\xi ,\;\eta )}$, які визначаються наступним чином

${\displaystyle \xi =r+x,}$

${\displaystyle \eta =r-x,}$

де ${\displaystyle r}$ — радіус у площині орбіти

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Обернене перетворення цих координат запишеться у вигляді

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ),}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}.}$

Розділення змінних у рівнянні Гамільтона — Якобі в цих координатах дає два еквівалентних рівняння[21][23]

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,}$

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,}$

де ${\displaystyle \beta }$ — інтеграл руху. Віднімаючи ці рівняння і виражаючи в термінах декартових координат імпульсу ${\displaystyle p_{x}}$ і ${\displaystyle p_{y}}$ можна показати, що ${\displaystyle \beta }$ еквівалентний вектору Лапласа — Рунге — Ленца

${\displaystyle \beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}$

Цей підхід Гамільтона — Якобі може використовуватися для того, щоб вивести збережний узагальнений вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ за наявності електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$[21][24]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[(\mathbf {r} \times \mathbf {E} )\times \mathbf {r} \right],}$

де ${\displaystyle q}$ — заряд частинки, яка обертається.

На відміну від імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$ та кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$, вектора Лапласа — Рунге — Ленца не має загальноприйнятого визначення. В науковій літературі використовуються декілька різних множників та символів. Найбільш загальне визначення наводиться вище, але інше визначення виникає після ділення на сталу ${\displaystyle mk}$, щоб отримати безрозмірний збережний вектор ексцентриситету

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}(\mathbf {v} \times \mathbf {r} \times \mathbf {v} )-\mathbf {\hat {r}} ,}$

де ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор швидкості. Напрямок цього масштабованого вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ збігається з напрямком ${\displaystyle \mathbf {A} }$, і його амплітуда дорівнює ексцентриситету орбіти. Ми отримаємо інші визначення, якщо поділимо ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle m}$,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$

чи на ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \},}$

який має ту ж розмірність, що і кутовий момент (вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$). У рідкісних випадках, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца може бути змінений на протилежний. Інші загальні символи для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включають ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {R} }$, ${\displaystyle \mathbf {F} }$, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ і ${\displaystyle \mathbf {V} }$. Однак вибір множника та символу для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, звичайно ж, не впливає на його збереження.

Рис. 3: Вектор кутового моменту ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {L} }$, вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ і вектор Гамільтона, бінормаль ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }$, є взаємно перпендикулярними; ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }$ вказують на велику і на малу півосі, відповідно, еліптичної орбіти в задачі Кеплера.

Альтернативний збережний вектор: бінормаль — вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ вивчений Вільямом Гамільтоном[10]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)(\mathbf {L} \times \mathbf {r} ),}$

який зберігається та вказує вздовж малої півосі еліпса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ є векторним добутком ${\displaystyle \mathbf {B} }$ і ${\displaystyle \mathbf {L} }$ (рис. 3). Вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ позначений як бінормаль, оскільки він перпендикулярний як до ${\displaystyle \mathbf {A} }$, так і до ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Подібно до вектора Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бінормалі можна визначити з різними множниками.

Два збережних вектора, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ та ${\displaystyle \mathbf {B} }$ можна об'єднати у збережний двохелементний тензор ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,}$

де ${\displaystyle \otimes }$ позначає тензорний добуток, а ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ — довільні множники[11]. Записане в компонентному записі, це рівняння читається так

${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}$

Вектори ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ортогональні один до одного, і їх можна представити як головні осі збережного тензора ${\displaystyle \mathbf {W} }$, тобто як його власні вектори. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ перпендикулярний до ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha (\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} )\mathbf {A} +\beta (\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} =0,}$

оскільки ${\displaystyle \mathbf {A} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$ перпендикулярні, то ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} =0}$.

Сила ${\displaystyle \mathbf {F} }$, що діє на частинку, вважається центральною. Тому

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$

для деякої функції ${\displaystyle f(r)}$ радіуса ${\displaystyle r}$. Оскільки кутовий момент ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ зберігається під дією центральних сил, то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ і

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}$

де імпульс записаний у вигляді ${\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$, і потрійний векторний добуток спростився з допомогою формули Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$

Тотожність

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$

приводить до рівняння

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}$

Для спеціального випадку центральної сили, що залежить обернено пропорційно від квадрату відстані ${\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$, останній вираз дорівнює

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}$

Тоді ${\displaystyle \mathbf {A} }$ зберігається в цьому випадку

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-{\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )=0.}$

Як показано нижче, вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ є частковим випадком узагальненого збережного вектора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, який може бути визначений для будь-якої центральної сили[11][12]. Однак більшість центральних сил не формує замкнених орбіт (див. Задача Бертрана), аналогічний вектор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ рідко має просте визначення і в загальному випадку є багатозначною функцією кута ${\displaystyle \theta }$ між ${\displaystyle \mathbf {r} }$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Рис. 5: Еліптична орбіта з ексцентриситетом ${\displaystyle \scriptstyle e=0{,}9}$, яка повільно прецесіює. Така прецесія виникає у задачі Кеплера, якщо притягувальна центральна сила трохи відрізняється від закону тяжіння Ньютона. Швидкість прецесії можна обчислити, використовуючи наведені у розділі формули.

У багатьох практичних задачах, типу планетарного руху, взаємодія між двома тілами лише наближено залежить обернено пропорційно від квадрату відстані. В таких випадках вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не є постійним. Однак, якщо збурювальний потенціал ${\displaystyle h(r)}$ залежить лише від відстані, то повна енергія ${\displaystyle E}$ і вектор кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$ зберігаються. Тому траєкторія руху все ще розташовується у перпендикулярній до ${\displaystyle \mathbf {L} }$ площині, і величина ${\displaystyle A}$ зберігається, відповідно до рівняння ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$. Отже, напрямок ${\displaystyle \mathbf {A} }$ повільно обертається по орбіті у площині. Використовуючи канонічну теорію збурень і координати дія-кут, можна прямо показати[2], що ${\displaystyle \mathbf {A} }$ обертається зі швидкістю

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},}$

де ${\displaystyle T}$ — період орбітального руху і рівність ${\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }$ використовувалася для того, щоб перетворити інтеграл по часу в інтеграл по куту (рис. 5). Наприклад, беручи до уваги ефекти загальної теорії відносності, приходимо до добавки, яка на відміну від звичайної гравітаційної сили Ньютона залежить обернено пропорційно від куба відстані[25]:

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}$

Підставляючи цю функцію в інтеграл і використовуючи рівняння

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),}$

щоб виразити ${\displaystyle r}$ в термінах ${\displaystyle \theta }$, швидкість прецесії перицентра, викликана цим збуренням, запишеться у вигляді[25]

${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.}$

що близька за значенням до величини прецесії для Меркурія, яку не можна пояснити ньютонівською теорією гравітації[26]. Цей вираз використовується для оцінки прецесії, пов'язаної з поправками загальної теорії відносності для подвійних пульсарів[27]. Це узгодження з експериментом є сильним аргументом на користь загальної теорії відносності[28].

Рис. 6: Перетворення Лі, з якого виводиться збереження вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$. Коли масштабовуваний параметр ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ змінюється, енергія та кутовий момент також змінюються, але ексцентриситет ${\displaystyle \scriptstyle e}$ і вектор ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ не змінюються.

Існує інший метод виводу вектора Лапласа — Рунге — Ленца, який використовує варіацію координат без застосування швидкостей[29]. Скалювання координат ${\displaystyle \mathbf {r} }$ і часу ${\displaystyle t}$ з різним степенем параметра ${\displaystyle \lambda }$ (рис. 6)

${\displaystyle t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} .}$

Це перетворення змінює повний кутовий момент ${\displaystyle L}$ і енергію ${\displaystyle E}$

${\displaystyle L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E,}$

але зберігає добуток ${\displaystyle EL^{2}}$. Звідси випливає, що ексцентриситет ${\displaystyle e}$ і величина ${\displaystyle A}$ зберігаються у вже згаданому раніше рівнянні

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$

Напрямок ${\displaystyle \mathbf {A} }$ також зберігається, оскільки півосі не змінюються при скалюванні. Це перетворення залишає правильним третій закон Кеплера, а саме те, що піввісь ${\displaystyle a}$ і період ${\displaystyle T}$ формують константу ${\displaystyle T^{2}/a^{3}}$.

Для трьох компонент ${\displaystyle L_{i}}$ вектора кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$ можна визначити дужки Пуассона

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$

де індекс ${\displaystyle i}$ пробігає значення 1, 2, 3 і ${\displaystyle \varepsilon _{ijs}}$ — абсолютно антисиметричний тензор, тобто символ Леві-Чивіти (третій індекс підсумовування ${\displaystyle s}$, щоб не плутати з силовим параметром ${\displaystyle k}$, визначеним вище). Як дужки Пуассона використовуються квадратні дужки (а не фігурні), як і в літературі та, в тому числі, щоб інтерпретувати їх як квантовомеханічні комутаційні співвідношення в наступному розділі.

Як показано вище, змінений вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ можна визначити з тією ж розмірністю, що і кутовий момент, поділивши ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle p_{0}}$. Дужка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ з вектором кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$ запишеться у схожому вигляді

${\displaystyle [D_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}$

Дужка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ з ${\displaystyle \mathbf {D} }$ залежить від знаку ${\displaystyle E}$, тобто коли повна енергія ${\displaystyle E}$ від'ємна (еліптичні орбіти під дією центральної сили, що залежить обернено пропорційно від квадрата відстані) або додатна (гіперболічні орбіти). Для від'ємних енергій дужки Пуассона набудуть вигляду

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

В той час як для додатних енергій дужки Пуассона мають протилежний знак

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

Інваріанти Казиміра для від'ємних енергій визначаються з допомогою наступних співвідношень

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},}$

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$

і ми маємо нульові дужки Пуассона для всіх компонент ${\displaystyle \mathbf {D} }$ і ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\;D_{i}]=0.}$

${\displaystyle C_{2}}$ дорівнює нулю через ортогональність векторів. Однак інший інваріант ${\displaystyle C_{1}}$ нетривіальний і залежить лише від ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle E}$. Цей інваріант можна використати для виводу спектра атома водню, використовуючи лише квантовомеханічне канонічне комутаційне співвідношення, замість складнішого рівняння Шредінгера.

Теорема Нетер стверджує, що інфінітизимальна варіація узагальнених координат фізичної системи

${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\;\mathbf {\dot {q}} ,\;t)}$

викликає зміну функції Лагранжа у першому порядку на повну похідну по часу

${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)}$

відповідає збереженню величини

${\displaystyle J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right).}$

Збережена компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle A_{s}}$ відповідає варіації координат[30]

${\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )],}$

де ${\displaystyle i}$ дорівнює 1, 2 і 3, а ${\displaystyle x_{i}}$ і ${\displaystyle p_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-ті компоненти векторів положення ${\displaystyle \mathbf {r} }$ та імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$, відповідно. Як і завжди, ${\displaystyle \delta _{is}}$ — символ Кронекера. Отримані зміни в першому порядку функції Лагранжа запишемо як

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}+[p^{2}x_{s}-p_{s}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )]\right).}$

Це викликає збереження компоненти ${\displaystyle A_{s}}$

${\displaystyle A_{s}=[p^{2}x_{s}-p_{s}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=[\mathbf {p} \times \mathbf {r} \times \mathbf {p} ]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$

Варіація координати призводить до збереження довжини вектора Лапласа — Рунге — Ленца (див. теорема Нетер). Це збереження можна розглядати як деяку симетрію системи. У класичній механіці, симетрії — неперервні операції, які відображають одну орбіту на іншу, не змінюючи енергії системи; у квантовій механіці, симетрії — неперервні операції, які змішують атомні орбіталі, не змінюючи повну енергію. Наприклад, будь-яка центральна сила приводить до збереження кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$. У фізиці зазвичай зустрічаються консервативні центральні сили, що мають симетрію групи обертання SO(3). Класично, повне обертання системи не зачіпає енергію орбіти; квантовомеханічно, обертання змішують сферичні функції з таким самим квантовим числом ${\displaystyle l}$ (вироджені стани), не змінюючи енергію.

Рис. 7: Сімейство кіл годографа імпульсу для заданої енергії ${\displaystyle \scriptstyle l}$. Всі кола проходять через дві точки ${\displaystyle \scriptstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$ на осі ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}}$ (порівняйте з рис. 3). Це сімейство годографів відповідає сімейству кіл Аполлонія, та ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ ізоповерхням біполярних координат.

Симетрія підвищується для центральної сили, оберненої до квадрата відстані. Специфічна симетрія задачі Кеплера призводить до збереження як вектора кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$, так і вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (як визначено вище) і квантовомеханічно гарантує, що рівні енергії атома водню не залежать від квантових чисел кутового моменту ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle m}$. Симетрія є більш тонкою, тому що операція симетрії повинна існувати у просторі більшої розмірності; такі симетрії часто називають прихованими симетріями[29]. Класично, вища симетрія задачі Кеплера враховує неперервні зміни орбіт, які зберігають енергію, але не кутовий момент; іншими словами, орбіти з однаковою енергією, але різними кутовими моментами (ексцентриситетом) можуть бути перетворені неперервно одна в одну. Квантовомеханічно це відповідає змішуванню орбіталей, які відрізняються квантовими числами ${\displaystyle l}$ і ${\displaystyle m}$, атомні орбіталі типу ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle l=0}$) і ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle l=1}$). Таке змішування не можна виконати зі звичайними тривимірними трансляціями чи обертаннями, але воно еквівалентне обертанню в просторі з вищою розмірністю.

Зв'язана система з від'ємною повною енергією має симетрію SO(4), яка зберігає довжину чотиривимірних векторів

${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}$

1935 року Володимир Фок показав, що квантовомеханічна задача Кеплера еквівалентна задачі вільної частинки, обмеженої чотиривимірною гіперсферою[7]. Зокрема, Фок показав, що хвильова функція рівняння Шредінгера у просторі імпульсів для задачі Кеплера є чотиривимірним узагальненням стереографічної проекції сферичних функцій із 3-сфери у тривимірний простір. Обертання гіперсфери та перепроектування призводить до неперервного перетворення еліптичних орбіт, що не змінює енергію; квантовомеханічно це відповідає змішуванню всіх орбіталей з однаковим головним квантовим числом ${\displaystyle n}$. Валентин Баргман згодом відмітив, що дужки Пуассона для вектора кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$ та скальованого вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ формують алгебру Лі для ${\displaystyle SO(4)}$[8]. Простіше кажучи, ці шість величин ${\displaystyle \mathbf {D} }$ і ${\displaystyle \mathbf {L} }$ відповідають шести збережним кутовим імпульсам у чотирьох вимірах, пов'язаних з шістьма можливими простими обертаннями у цьому просторі (є шість способів вибрати дві осі з чотирьох). Цей висновок не передбачає, що наш Всесвіт — чотиривимірна гіперсфера; це просто означає, що ця специфічна проблема фізики (задача двох тіл для центральної сили, що залежить обернено від квадрата відстані) математично еквівалентна вільній частинці на чотиривимірній гіперсфері.

Розсіяна система з додатною повною енергією має симетрію SO(3,1), яка зберігає довжину 4-вектора у просторі з метрикою Мінковського

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}$

Фок[7] і Баргман[8] розглянули як від'ємні, так і додатні енергії. Вони також були розглянуті енциклопедично Бендером та Іциксоном[31][32].

Рис. 8: Годограф імпульсу на рис. 7 відповідає стереографічній проекції великих кіл із чотиривимірної ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ сфери одиничного радіуса. Всі великі кола перетинають ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$ вісь, яка направлена перпендикулярно до сторінки. Проекція з північного полюса (одиничний вектор ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {w} }$) до (${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$-${\displaystyle \scriptstyle \eta _{y}}$) площини, як показано для пурпурного годографа пунктирною чорною лінією. Велике коло на широті ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ відповідає ексцентриситету ${\displaystyle \scriptstyle e=\sin \alpha }$. Кольори великих кіл, показаних тут, відповідають кольорам їхніх годографів на рис. 7.

Зв'язок між задачею Кеплера і обертаннями в чотиривимірному просторі SO(4) можна достатньо просто візуалізувати[31][33][34]. Нехай у чотиривимірному просторі задані декартові координати, які позначені ${\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}$, де ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ є декартовими координатами звичайного положення тривимірного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Тривимірний вектор імпульсу ${\displaystyle \mathbf {p} }$ пов'язаний з чотиривимірним вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ на чотиривимірній одиничній сфері рівнянням

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} ={\frac {mk-rpp_{0}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,}$

де ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ — одиничний вектор вздовж нової осі ${\displaystyle w}$. Оскільки ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ має лише три незалежні компоненти, то цей вектор можна обернути, отримавши вираз для ${\displaystyle \mathbf {p} }$. Наприклад, для компоненти ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$

і аналогічно для ${\displaystyle p_{y}}$ і ${\displaystyle p_{z}}$. Іншими словами, тривимірний вектор ${\displaystyle \mathbf {p} }$ є стереографічною проекцією чотиривимірного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, помноженому на ${\displaystyle p_{0}}$ (рис. 8).

Не втрачаючи загальності, ми можемо усунути нормальну обертальну симетрію, вибираючи декартові координати, де вісь ${\displaystyle z}$ направлена вздовж вектора кутового моменту ${\displaystyle \mathbf {L} }$, і годограф імпульсу розташований як показано на рисунку 7, з центрами кіл на осі ${\displaystyle y}$. Оскільки рух відбувається у площині, а ${\displaystyle \mathbf {p} }$ і ${\displaystyle L}$ ортогональні, ${\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}$, і увагу можна зосередити на тримірному векторі ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}$. Сімейство кіл Аполлонія годографів імпульсу (рис. 7) відповідає множині великих кіл на тримірній сфері ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, всі з яких перетинають вісь ${\displaystyle \eta _{x}}$ у цих двох фокусах ${\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}$, що відповідають фокусам годографа імпульсу при ${\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}$. Великі кола зв'язані простим обертанням навколо осі ${\displaystyle \eta _{x}}$ (рис. 8). Це обертова симетрія перетворює всі орбіти з тією ж енергією одна в одну; однак, таке обертання ортогональне до звичайних тримірних обертань, оскільки воно перетворює четвертий вимір ${\displaystyle \eta _{w}}$. Ця більш висока симетрія характерна для задачі Кеплера та відповідає збереженню вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Витончене рішення для задачі Кеплера з використанням змінних кут-дія можна отримати, позбавляючись від надлишкової чотиривимірної координати ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ і використовуючи еліптичні циліндричні координати ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}$[35]

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\alpha \,\mathrm {cn} \,\beta ,}$

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \cos \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\alpha \,\mathrm {sn} \,\beta ,}$

де використовуються еліптичні функції Якобі: ${\displaystyle \mathrm {sn} }$, ${\displaystyle \mathrm {cn} }$ і ${\displaystyle \mathrm {dn} }$.

Рис. 9: Рівні енергії водневого атома, передбачені з використанням комутаційних співвідношень кутового моменту та векторних операторів Лапласа — Рунге — Ленца; ці рівні енергії були перевірені експериментально.

Дужки Пуассона дають простий спосіб для квантування класичної системи. Комутатор двох квантовомеханічних операторів дорівнює дужці Пуассона відповідних класичних змінних, помноженій на ${\displaystyle i\hbar }$[36]. Виконуючи це квантування та обчислюючи власні значення ${\displaystyle C_{1}}$ оператора Казиміра для задачі Кеплера, Вольфганг Паулі вивів енергетичний спектр воднеподібного атома (рис. 9) і, таким чином, його атомний емісійний спектр[3]. Цей вишуканий розв'язок було отримано до отримання рівняння Шредінгера[37].

Особливість квантовомеханічного оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ полягає в тому, що імпульс і оператори кутового моменту не комутують між собою, а отже, векторний добуток ${\displaystyle \mathbf {p} }$ і ${\displaystyle \mathbf {L} }$ повинен бути визначений ретельно[38]. Зазвичай, оператори в декартовій системі координат ${\displaystyle A_{s}}$ визначені з допомогою симетризованого добутку

${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}),}$

з якого визначаються відповідні драбинні оператори

${\displaystyle A_{0}=A_{3},}$

${\displaystyle A_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(A_{1}\pm iA_{2}).}$

Нормований оператор першого інваріанта Казимира може бути визначений подібним чином

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}$

де ${\displaystyle H^{-1}}$ — оператор, обернений до оператора енергії (гамільтоніан) і ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор. Застосовуючи ці драбинні оператори до власних станів ${\displaystyle |lmn\rangle }$ операторів повного кутового моменту, азимутального кутового моменту та енергії, можна показати, що власні стани першого оператора Казиміра задаються формулою ${\displaystyle n^{2}-1}$. Отже, рівні енергії даються виразом

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$

який ідентичний до формули Рідберга для атома водню (рис. 9).

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца був узагальнений на інші потенціали і навіть на спеціальну теорію відносності. Найзагальнішу форму цього вектора можна записати у вигляді[11]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,}$

де ${\displaystyle u=1/r}$ (див. Задача Бертрана) і ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$, з кутом ${\displaystyle \theta }$, визначеним як

${\displaystyle \theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}.}$

Тут ${\displaystyle \gamma }$ — релятивістський фактор. Як і раніше, можна отримати збережний вектор бінормалі ${\displaystyle \mathbf {B} }$, взявши векторний добуток із збережним вектором кутового моменту

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}$

Ці два вектори можна з'єднати у збережний двокомпонентний тензор ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}$

Для прикладу обчислимо вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивістського ізотропного гармонічного осцилятора[11]. Розглянемо центральну силу:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }$

вектор кутового моменту зберігається, і тому рух відбувається у площині. Збережний тензор можна переписати у простішому вигляді:

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}$

хоча слід відмітити, що ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle r}$ не перпендикулярні, як ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$. Відповідний вектор Лапласа — Рунге — Ленца має складніший запис

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\{(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+(mr\omega _{0}A-mrE)\mathbf {\hat {r}} \},}$

де ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — частота осцилятора.