Багатократний інтеграл

Багатокра́тний інтегра́л це обмежений інтеграл функції, що має декілька дійсних змінних, наприклад, $f (x, y)$ або $f (x, y, z)$ . Інтеграли функцій двох змінних в області $R 2$ називають подвійними інтегралами, а інтеграли функції трьох змінних в області визначення $R 3$ — потрійними інтегралами:[1]

подвійний інтеграл:
$\int \int f(x,y)\;dx\;dy$
потрійний інтеграл:
$\int \int \int f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz$

Визначення

Так само як і звичайний інтеграл додатної функції однієї змінної задає площу області між графіком функції і віссю $x$ , подвійний інтеграл додатної функції двох змінних визначає об'єм області між поверхнею, що визначається функцією (у тривимірній системі декартових координат де $z = f (x, y)$ ) і площиною, що задає її область визначення. [1] Якщо функція має більше змінних, багатократний інтеграл буде задавати гіпероб'єм багатовимірної функції.

Багатократний інтеграл функції із $n$ змінними: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ по області $D$ зазвичай позначають за допомогою послідовних знаків інтегралу в зворотньому порядку виконання (інтеграл позначений знаком зліва буде розраховуватися останнім), за якими записується функція і аргументи інтегрування у відповідному порядку (інтеграл для самого правого аргументу буде розраховуватися останнім). Область інтегрування позначається або символічно для кожного аргументу над кожним знаком інтегралу або, або в скороченій формі задається змінною біля інтегралу , що знаходиться праворуч від усіх:[2]

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Геометрична інтерпретація

Подвійний інтеграл як об'єм під поверхнею z = x² − y². Прямокутний регіон у основі тіла є областю інтегрування, а поверхня графіка функції двох змінних буде інтегруватися

Нехай функція $f\left(x,y\right)$ приймає в області $\ D$ тільки додатні значення. Тоді подвійний інтеграл $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }$ чисельно дорівнює об'єму $\ V$ вертикального циліндрового тіла, побудованого на остові $\ D$ і обмеженого зверху відповідним шматком поверхні $z=f\left(x,y\right)$ .

Математичне визначення

Для $n > 1$ , розглянемо так звану "пів-відкриту" $n$ -вимірну гіперпрямокутну область значень $T$ , визначену наступним чином:

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbf {R} ^{n}.

Розіб'ємо кожен інтервал $[a j, b j)$ на скінченну послідовність підінтервалів $I j$ , що не перекриваються $i j α$ , де кожен підінтервал є закритим з лівого краю, і відкритим з правого краю.

Скінченна кількість підпрямокутників $C$ буде визначатися наступним чином

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

і є розбиттям області $T$ ; таке що, підпрямокутники $C k$ не перекриваються, а їх об'єднання буде утворювати $T$ .

Нехай $f : T \to R$ є функцією визначеною в області $T$ . Розглянемо розбиття $C$ області $T$ описане вище, так що $C$ є сімейством із $m$ підпрямокутниками $C m$ і

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

Ми можемо апроксимувати загальний $(n + 1)$ -вимірний об'єм, що обмежує собою $n$ -вимірний гіперпрямокутник $T$ і зверху обмежений $n$ -вимірним графіком функції $f$ за допомогою наступної суми Рімана:

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

де $P k$ це точка в $C k$ і $m(C k)$ є добуток довжин інтервалів, декартовий добуток яких дорівнює $C k$ .

Діаметр підпрямокутника $C k$ буде дорівнювати найбільшій довжині інтервала декартовим добутком якого є $C k$ . Діаметр даного розбиття $T$ визначається найбільшим діаметром підпрямокутника в розбитті. Інтуїтивно, із обмеженням діаметру розбиття $C$ до все менших і менших значень, кількість підпрямокутників $m$ стає більшою, а міра $m(C k)$ для кожного підпрямокутника стає меншою. Функцію $f$ називають такою, що має Ріманів інтеграл якщо існує границя

S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})

де границя знаходиться для всіх можливих варіантів розбиття $T$ із діаметром $δ$ .[3]

Якщо $f$ інтегрована за Ріманом, то $S$ називають Рімановим інтегралом функції $f$ по області $T$ і позначається наступним чином

\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Часто цей запис скорочують до наступного вигляду

\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .

де $x$ позначає $n$ -кортеж $(x 1, ... x n)$ і $d n x$ позначає $n$ -вимірний об'ємний диференціал.

Властивості

Багатократні інтеграли мають більшість властивостей, що є спільними із звичайними інтегралами функцій однієї змінної (лінійність, комутативність, монотонність тощо). Однією з важливих властивостей багатократного інтегралу є те, що значення інтегралу не залежить від порядку інтегрування при певних умовах. Ця властивість відома як Теорема Фубіні.[4]

Методи інтегрування

Вирішення задачі багатократного інтегрування, в більшості випадків, полягає у знаходженні способу спростити багатократний інтеграл у послідовний інтеграл із інтегралів однієї змінної, кожен з яких має прямий розв'язок. Для неперервних функцій, це підтверджується Теоремою Фубіні. Іноді, можливо отримати результат за допомогою прямого дослідження без розрахунків.

Далі наведені найпростіші методи інтегрування:[1]

Інтегрування константної функції

Якщо під інтегралом знаходиться константна функція $c$ , інтеграл буде дорівнювати добутку $c$ на вимір області інтегрування. Якщо $c = 1$ , а область є частиною області $R 2$ , тоді інтеграл визначає площу області, якщо область буде частиною $R 3$ , тоді інтеграл повертає об'єм.

Наприклад. Нехай $f (x, y) = 2$ і

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\$

в такому випадку

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$ ,

оскільки із визначення ми маємо наступне:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).$

Використання симетрії

Якщо область інтегрування симетрична відносно початку координат по відношенню хоча б до однієї із змінних інтегрування, а функція що інтегрується є парною по відношенню до цієї змінної, інтеграл дорівнюватиме нулю, оскільки інтеграли над двома половинами області будуть мати однаковий абсолютний об'єм але протилежні знаки. Якщо функція, яка інтегрується є непарною по відношенню до такої змінної, інтеграл дорівнює двом інтегралам для половини цієї області, оскільки значення інтегралів двох половин є рівними.

Приклад 1. Розглянемо функцію $f (x, y) = 2 sin(x) - 3 y 3 + 5$ що інтегрується по області

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\$

диск із радіусом 1 має центр в початку координат, із включеною межею.

Застосовуючи властивість лінійності, вважаємо, що інтеграл можна розділити на три частини:

$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$
Функція $2 sin(x)$ є парною функцією для змінної $x$ а диск $T$ є симетричним відносно осі $y$ , тому значення першого інтегралу дорівнює 0. Аналогічно, функція $3 y 3$ є парною функцією для $y$ , а $T$ симетрична відносно осі $x$ , і таким чином є єдиною складовою, що впливає на остаточний результат є третій інтеграл. Таким чином початковий інтеграл дорівнює площі диска помноженій на 5, або 5 $π$ .

Приклад 2. розглянемо функцію $f (x, y, z) = x exp(y 2 + z 2)$ , оскільки область інтегрування є сферою із радіусом 2 із центром у початку координат,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\$
"Шар" є симетричним відносно всіх трьох осей, але достатньо привести інтеграл по осі $x$ аби показати що він дорівнює нулю 0, оскільки функція є парною функцією відносно цієї змінної.

Заміна змінних

Границі інтегрування часто не є просто взаємозамінними (без нормалізації або через складну формулу інтегрування). Виконують заміну змінних аби переписати інтеграл таким чином, аби інтегрувати у більш "зручній" області, яку можна описати простішою формулою. Аби це зробити, функцію необхідно привести до нових координат.

Приклад 1a. Функція дорівнює $f (x, y) = (x - 1) 2 + \sqrt y$ ; якщо застосувати заміну $x' = x - 1$ , $y' = y$ так що $x = x' + 1$ , $y = y'$ буде одержана нова функція $f 2 (x, y) = (x') 2 + \sqrt y$ .

Аналогічно для області інтегрування, оскільки вона обмежує початкові змінні ( $x$ і $y$ , які були перетворені вище в прикладі).
диференціали $dx$ і $dy$ трансформуються за допомогою абсолютного значення детермінанта матриці Якобі, що містить частинні похідні перетворення відповідно до нової змінної (розглянемо, як приклад, диференційне перетворення в полярних координатах).

Існує три основні "види" заміни змінних (один для $R 2$ , два для $R 3$ ); однак, в більш загальному випадку заміни можна виконувати за аналогічним принципом.

Полярні координати

Перетворення від декартових до полярних координат.

Для $R 2$ якщо область має кругову симетрію а функція має деякі відповідні характеристики може бути корисним застосувати трансформування в полярні координати (дивись приклад на зображенні). Це означає що загальні точки $P (x, y)$ в декартовій системі координат зміняться відповідними точками в полярній системі координат. Що дозволяє змінити форму області і спростити операції.

Основне рівняння за допомогою якого здійснюється перетворення буде наступним:

f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).

Приклад 2a. Функцією є $f (x, y) = x + y$ , застосувавши перетворення отримаємо

$f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).$

Приклад 2b. Функцією є $f (x, y) = x 2 + y 2$ , в такому випадку маємо:

$f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$
використовуючи тригонометричну тотожність Піфагора.

Перетворення області виконано за допомогою визначення величини радіусу і величини описаного кута за допомогою інтервалів $ρ, φ$ від початкових $x, y$ .

Приклад перетворення області із декартової системи координат в полярну.

Приклад 2c. Область задається як $D = {x 2 + y 2 \leq 4}$ , це коло радіусом 2; очевидно, що кут який воно покриває це кут усього кола, тому $φ$ змінюється від 0 до 2 $π$ , в той час як радіус змінюється від 0 до 2.

Приклад 2d. Область задається як $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, y \geq 0}$ , це кругла дуга в додатній відносно осі $y$ півплощині (див. малюнок); $φ$ описує площину із зміною кута $ρ$ в діапазоні значень від 2 до 3. Таким чином перетворена область буде таким прямокутником:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.$

Детермінант матриці Якобі для такого перетворення буде таким:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$

який було отримано відповідно до часткових похідних для $x = ρ cos(φ)$ , $y = ρ sin(φ)$ в першому стовбці відповідно до $ρ$ і в другому стовпці відповідно до $φ$ , так що диференціали $dx dy$ в цьому перетворенні стали замінені на $ρ dρ dφ$ .

Так як функція була перетворена а області були розраховані, стає можливим визначити формулу для заміни змінних в полярних координатах:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .$

$φ$ є дійсним для інтервалу $[0, 2π]$ в той час як $ρ$ , що є мірою довжини, може приймати лише додатні значення.

Приклад 2e. Функцією є $f (x, y) = x$ а область є такою ж як в прикладі 2d. Із попередніх розрахунків для $D$ ми вже знаємо інтервали для $ρ$ (з 2 до 3) і для $φ$ (з 0 до $π$ ). Тепер ми змінюємо функцію:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .$

нарешті, застосуємо формулу інтегрування:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .$

Оскільки інтервали відомі, матимемо

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Циліндричні координати

Циліндричні координати.

В $R 3$ інтегрування областей що мають круглу основу можна здійснювати за допомогою переходу до циліндричних координат; перетворення функції виконується за допомогою наступних рівнянь:

f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)

Область трансформації можна отримати графічним чином, оскільки змінюється лише форма основи, в той час як висота залежить від форми початкового регіону.

Приклад 3a. Регіоном є $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, 0 \leq z \leq 5}$ (тобто "труба" основа якої є круглим сектором з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5); після застосування перетворення, буде отримана область:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$

(це буде паралелепіпед основа якого, подібна до прямокутника з прикладу 2d і висота якого дорівнює 5).

Оскільки компонент $z$ не змінюється під час перетворення, диференціали $dx dy dz$ змінюються при переході до полярних координат: таким чином вони перетворюються на $ρ dρ dφ dz$ .

Врешті-решт, стає можливим застосувати остаточну формулу до циліндричних координат:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.$
Цей метод зручно застосовувати у випадку коли області є циліндричними або конічними або для областей де легко виділити інтервал z і перетворити круглу основу і функцію.

Приклад 3b. Функція задана як $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z$ а область інтегрування є циліндром: $D = {x 2 + y 2 \leq 9, -5 \leq z \leq 5 }$ . Перетворення $D$ в циліндричні координати є наступним:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.$

а фукнція перетворюється на

$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$

Тепер можна застосувати формулу для інтегрування:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;$

продовжуючи перетворення формули отримаємо

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .$

Сферичні координати

Сферичні координати.

В $R 3$ деякі області мають сферичну симетрію, таким чином можливо задати координати кожної точки області інтегрування за допомогою двох кутів і однієї відстані. Для цього можливо скористатися переходом до сферичної системи координат; функція перетворюється за допомогою наступних рівнянь:

f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )

Точки на осі $z$ не можна точно характеризувати в сферичних координатах, тому $θ$ може змінюватися між значеннями 0 і 2 $π$ .

Найкращою областю інтегрування для цього переходу очевидно є сфера.

Приклад 4a. Область задана як $D = x 2 + y 2 + z 2 \leq 16$ (сфера із радіусом 4 і центром в початку координат); застосувавши перетворення отримаємо область

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.$

Детермінант якобіану для цього перетворення буде наступним:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$

Диференціали $dx dy dz$ таким чином перетворюються на $ρ 2 sin(φ) dρ dθ dφ$ .

Це приводить до остаточної формули інтегрування:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Цей метод краще використовувати у випадках, коли область сферична і коли функцію можна легко спростити за допомогою першої тригонометричної тотожності узагальненої для $R 3$ (див. приклад 4b); в інших випадках більш вдалим може бути застосування циліндричних координат (див. приклад 4c).

\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .

Додаткові $ρ 2$ і $sin φ$ взяті із Якобіана.

В наступних прикладах ролі $φ$ і $θ$ були замінені навпаки.

Приклад 4b. $D$ є такою ж областю як і в прикладі 4a, а $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ є функцією що інтегрується. Її перетворення дуже просте:

$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},$

ми знаємо інтервали перетвореної області $T$ із $D$ :

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.$

Таким чином застосовуємо формулу інтегрування:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,$

і з цього ми отримаємо

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.$

Приклад 4c. Область $D$ це шар із центром в початку координат і радіусом $3 a$ ,

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$

а $f (x, y, z) = x 2 + y 2$ - функція інтегрування.

Зважаючи на область інтегрування, зручним має бути використати перехід в сферичну систему координат, на справді, інтервали нових змінних які обмежують нову область $T$ є очевидними:

$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.$

Однак, застосувавши перетворення ми отримаємо

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$ .

Застосувавши формулу інтегрування, отримаємо:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

що є дуже складним для розв'язку. Цю проблему спробуємо вирішити переходом у циліндричну систему координат. Нові інтервали для $T$ будуть наступними

$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};$

інтервал $z$ було отримано за допомогою розділення кулі на дві напівсфери шляхом вирішення нерівності із формули для $D$ (і виконавши пряме перетворення $x 2 + y 2$ у $ρ 2$ ). Нова функція тоді буде простою $ρ 2$ . Застосовуючи формулу інтегрування

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\varphi dz$ .

Тоді ми отримаємо

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}$
Завдяки переходу в циліндричні координати стало можливим спростити потрійний інтеграл до простого інтегралу з однією змінною.

Приклади

Подвійний інтеграл по прямокутнику

Припустимо, що ми хочемо проінтегрувати функцію багатьох змінних $f$ по області $A$ :

{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\

З цього ми записуємо формулювання багатократного інтегралу

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

Внутрішній інтеграл застосовується першим, інтегруючи відносно змінної $x$ і приймаючи $y$ за константу, так ніби вона не є змінною інтегрування. Результат цього інтегралу, що є функцією яка залежить від лише від змінної $y$ , потім інтегрують по $y$ .

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

Тепер інтегруємо результат відносно $y$ .

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

Іноді, порядок інтегрування можна змінити місцями, тобто, інтегрування спочатку по x потім по y і навпаки дає однаковий результат. Наприклад, виконавши попередні розрахунки змінивши порядок навпаки приведе до того ж результату:

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

Умови при яких порядок можна змінювати визначає Теорема Фубіні.

Деякі практичні застосування

Як правило, як і для випадку з однією змінною, багатократний інтеграл можна використовувати для пошуку середнього значення функції в рамках заданої множини. Дана множина $D \subseteq R n$ і інтегрована функція $f$ по $D$ , середнє значення функції $f$ по області задається наступним чином

{\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,

де $m (D)$ це міра для $D$ .

Крім того, багатократні інтеграли використовуються в багатьох задачах з фізики. Нижче наводяться приклади, які також показують деякі варіації в нотації.

В механіці, момент інерції розраховується як об'ємний інтеграл (потрійний інтеграл) густини зваженої як квадрат відстані від осі:

I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.

Гравітаційний потенціал, що пов'язаний із розподіленням маси, що задається мірою Бореля для маси $dm$ в тривимірному евклідовому просторі $R 3$ буде задано як[5]

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).

Якщо задана неперервна функція $ρ (x)$ , що задає густину розподілення для $x$ , таким чином що $dm (x) = ρ (x) d 3 x$ , де $d 3 x$ є Евклідовим елементом об'єму, тоді гравітаційний потенціал дорівнює

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .

В електромагнетизмі, Рівняння Максвелла для розрахунку загального магнітного і електричного полів можна записати із використанням багатократного інтегралу.[6] В наведеному прикладі, електричне поле, утворене через розподілення електричних зарядів задається за допомогою об'ємної густини заряду ${\vec {r}}$ що розраховується за допомогою потрійного інтегралу векторної функції:

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.

Це також можна записати як інтеграл, відповідно до мирі із врахуванням знаку, що буде задавати розподілення заряду.

Примітки

Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (вид. 6th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
Larson; Edwards (2014). Multivariable Calculus (вид. 10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (вид. 3rd). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Jones, Frank (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett. с. 527–529.^{[ISBN відсутній]}
Kibble, Tom W. B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (вид. 5th). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6. Проігноровано невідомий параметр |title-link= (довідка)
Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (вид. 3rd). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Посилання

Поняття про подвійний інтеграл // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 458. — 594 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Stewart-1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (вид. 6th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Larson; Edwards (2014). Multivariable Calculus (вид. 10th). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.

[3] Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (вид. 3rd). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

[a-4] Jones, Frank (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett. с. 527–529.^{[ISBN відсутній]}

[5] Kibble, Tom W. B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (вид. 5th). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6. Проігноровано невідомий параметр |title-link= (довідка)

[6] Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (вид. 3rd). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.