Ознака Абеля

Нехай виконуються такі умови:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$ — збіжний ряд,
2. ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ — монотонна послідовність,
3. ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ — обмежена,

тоді ряд ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Цю теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумуванням по частинам).

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел ${\displaystyle (a_{n})}$ монотонно спадає (або принаймні для всіх ${\displaystyle n}$, більших за деяке натуральне число ${\displaystyle m}$, маємо ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$), причому

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0,}$

тоді степеневий ряд

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли ${\displaystyle z=1}$. Ознаку Абеля не можна застосовувати для ${\displaystyle z=1}$, тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності ${\displaystyle R\neq 1}$ за допомогою простої заміни змінних ${\displaystyle \zeta =z/R}$.[1] Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти ${\displaystyle z=-1}$.

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка ${\displaystyle z}$ належить одиничному колу, ${\displaystyle z\neq 1}$. Для кожного значення ${\displaystyle n\geq 1}$ визначимо

${\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

Помноживши цю функцію на ${\displaystyle (1-z)}$, отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=\\&=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}=\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}$

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k}),}$

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — спадна.

Звідси, послідовність ${\displaystyle \{(1-z)f_{n}(z)\}}$ збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо ${\displaystyle z\neq 1}$, то можна поділити на ${\displaystyle (1-z)}$ і отримуємо результат.

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині ${\displaystyle E}$ така, що ${\displaystyle g_{n+1}(x)\leq g_{n}(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in E}$ та натуральних чисел ${\displaystyle n}$, і нехай ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle E}$. Тоді ряд ${\displaystyle \sum f_{n}(x)g_{n}(x)}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle E}$.

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції ${\displaystyle \ f(x)}$ і ${\displaystyle \ g(x)}$ визначені на проміжку ${\displaystyle \ [a,\infty )}$. Тоді невласний інтеграл ${\displaystyle \ \int _{a}^{\infty }{f(x)g(x)}\mathrm {d} x}$ є збіжним, якщо виконуються такі умови:

1. Функція ${\displaystyle \ f(x)}$ є інтегровна на ${\displaystyle \ [a,\infty )}$.
2. Функція ${\displaystyle \ g(x)}$ обмежена і монотонна.

• Ознака Діріхле збіжності ряду
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

1. (Moretti, 1964, p. 91)

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis (вид. 2nd). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Weisstein, Eric W. Abel's uniform convergence test(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.