Аномалія (фізика)

Наразі відомо два основні класи симетрій, асоційовані із законами збереження, які порушуються у квантовій теорії[14]:

• хіральна симетрія у теоріях із ферміонами, що пов'язана із діраківською матрицею ${\displaystyle \gamma _{5}}$. Відповідна аномалія називається кіральною;
• масштабна симетрія, яка пов'язана із масштабними перетвореннями координат та полів. Відповідна аномалія називається масштабною.

Дослідження квантових аномалій стартувало у 1949-му році, одразу після становлення сучасної квантової теорії поля зусиллями Фейнмана, Швінгера, Томонаги та Дайсона. З'явилася можливість робити послідовні адекватні розрахунки, а отже, послідовно зіставляти числові передбачення квантової теорії поля із експериментом[15].

Історія кіральної аномалії почалася у тому ж 1949-му році, коли Дж. Штейнбергер, користуючись тогочасною моделлю нуклон-мезонної взаємодії, яка була попередницею квантової хромодинаміки, у своїй докторській дисертації обрахував амплітуду розпаду ${\displaystyle \pi ^{0}\to 2\gamma }$ нейтрального пі-мезону на два фотони[16]. Відповідь знаходилася у чудовій відповідності із експериментом.

Проте із дослідженням фізики мезонів (зокрема, пі-мезону) стало ясно, що вони грають роль псевдоголдстоунівських бозонів, що виникають внаслідок спонтанного порушення наближеної аксіальної симетрії сильної взаємодії (на той час квантова хромодинаміка ще не була побудована, і для описання процесів із мезонами використовувалися так звані "low-energy"-теореми)[17]. Модель Штейнбергера суперечила ідеї про наближену аксіальну симетрію[18]. Виправлений результат наївно узгоджувався із квантовою хромодинамікою, проте знаходився у значно гіршій відповідності до експерименту: теоретична ймовірність розпаду пі-мезону була менше від спостережуваної на три порядки[18]. Врешті-решт, у 1969-му році С. Адлер[10] і, окремо від нього, Дж. Белл та Р. Яцків[11] виявили, що наближена аксіальна симетрія квантової хромодинаміки порушується квантовими ефектами — аксіальною аномалією. Отримана на основі їх аналізу ймовірність розпаду узгоджувалася із експериментом. За декілька років до того, у 1962-му році, Дж. Швінгер виявив[19], що квантова електродинаміка із безмасовими ферміонами у двох просторово-часових вимірах має порушення закону збереження аксіального струму, що при умові збереження калібрувальної інваріантності призводить до набуття фотоном маси. У 1969-му році С. Адлер та В. Бардін показали, що у вираз для функції кіральної аномалії дають внесок лише однопетльові фейнманівські діаграми, тобто, що кіральна аномалія є непертурбативним ефектом[20]. Врешті-решт, Г. 'т Хоофт своїми роботами[21][22] вказав на важливе теоретичне[23] та експериментальне значення аномалій, зокрема, порушення законів збереження баріонного та лептонного чисел та зв'язок спонтанного порушення симетрії у КХД із конфайнментом, а у 1979-му році С. Н. Вергелес у своїй дисертації[24] і незалежно від нього К. Фуджікава[25] виявили, що у формулюванні КТП через інтеграл по траєкторіях, будь-яка кіральна аномалія міститься у ферміонній мірі континуального інтегрування, що використовується для визначення інтегралу по траєкторіях[18].

Початок вивчення масштабної аномалії пов'язаний із становленням теорії ренормалізаційної групи, основна ідея якої — в постулюванні незалежності значень вимірюваних величин від масштабу перенормування[26]. Масштабна аномалія була вперше досліджена у 1970-му році К. Челленом[27] на прикладі теорії скалярного поля із самодією. Він виявив, що процедура перенормування явно порушує вигляд диференціальних рівнянь на перемасштабовані величини теорії, які прямо слідують із масштабної інваріантності; а саме, диференціальні рівняння на функції Гріна, як описують динаміку останніх при перемасштабуванні імпульсів, і які дотримуються наївного класичного аналізу перемасштабування просторово-часових координат та квантових полів, відрізняються від диференціальних рівнянь, які приймають до уваги ефекти регуляризації та перенормування — біжучу константу взаємодії та аномальну розмірність полів. У 1974-му році М. Дж. Дафф та Д. М. Кеппер у своїй статті[28] продемонстрували, що масштабна аномалія порушує інваріантність квантової теорії із гравітонами та безмасовими полями матерії відносно конформних перетворень метрики та полів матерії (інваріантність у класичній теорії вперше продемонстрував Г. Вейль у 1918-му році, тому відповідну аномалію часто називають вейлівською). У 1977-му році Дж. С. Коллінз, Е. Дункан та С. Д. Джодлекар розвинули формалізм масштабної аномалії у термінах інтегралу по траєкторіях[29].

Едвард Віттен, відкривач SU(2) аномалії

Окрім того, існують також квантові аномалії симетрій, не пов'язаних із законами збереження. Їх поява, хоч і не призводить до порушення закону збереження струму, може приводити до несумісності квантової теорії через невизначеність основних величин (наприклад, S-матриці, або, що еквівалентно, генеруючого функціоналу). Основних типів таких аномалій — два[30]: віттенівська SU(2) аномалія та редліхівська аномалія.

У 1982-му році Е. Віттен дослідив поведінку генеруючого функціоналу квантової теорії із хіральними ферміонами та групою симетрії SU(2) відносно топологічно нетривіальних калібрувальних перетворень. Він виявив, що при деяких значеннях кількості N різних кіральних ферміонів теорія є несумісною[31].

А у 1983-му році А. Н. Редліх досліджував поведінку квантових калібрувальних теорій у просторі-часі непарної розмірності відносно тих же топологічно нетривіальних калібрувальних перетворень. Він виявив, що теорія типу описаної вище ${\displaystyle SU(2)}$-теорії є сумісною у тому випадку, якщо додати до початкової дії теорії доданок, що порушує просторову парність[32].

Симетрія — деяке перетворення простору (координатного чи фазового), яке залишає незмінними спостережувані величини. Наприклад, у класичній механіці спостережуваною величиною може бути число частинок, а у квантовій механіці — густина ймовірності. Зокрема, у лагранжевому формалізмі класичної фізики симетрія визначається як перетворення полів та координат, яке залишає дію (інтеграл від функції Лагранжа) незмінною.

Неперервні глобальні симетрії (наприклад, повороти у тривимірному просторі) у теорії мають наслідком, відповідно до теореми Нетер, закони збереження струмів ${\displaystyle J}$. Зокрема, глобальна симетрія (перетворення, індуковані якою, не залежать від просторово-часових координат) теорії відносно зсуву просторово-часових координат має наслідком закон збереження тензору енергії-імпульсу, симетрія відносно перетворень групи Лоренца (лоренцівських бустів та поворотів у просторі) — закон збереження тензору моменту імпульсу та спіну, і т. д. Існують також менш очевидні симетрії, зокрема — симетрії відносно глобальних фазових перетворень, що відповідають закону збереження електричного заряду, баріонного та лептонного чисел тощо.

Неперервні локальні симетрії (із параметрами перетворення, які залежать від просторово-часових координат) вимагають коваріантного закону збереження відповідного струму.

У лоренц-інваріантному вигляді закон збереження 4-струму ${\displaystyle J_{\mu ...}}$ (три крапки позначають можливі інші індекси), що відповідає глобальній симетрії, має вигляд[33]

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu ...}=0,}$

де

${\displaystyle \partial ^{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$ —

коваріантна похідна у просторі-часі Мінковського.

Розглянемо калібрувально-інваріантну теорію взаємодії зарядженого поля ${\displaystyle \Phi }$ довільної природи (скалярного, векторного, спінорного тощо) із електромагнітним полем ${\displaystyle A_{\mu }}$. В силу лоренц-інваріантності лагранжіан завжди буде містити принаймні білінійні функції ${\displaystyle \Phi ^{\dagger }(x)\Phi (x)}$ полів (див. наприклад, випадок скалярного поля). Відповідно, і струми ${\displaystyle J_{\mu }}$ є білінійними функціями полів.

Наївна квантова теорія може бути отримана із класичної шляхом відповідності ${\displaystyle \Phi \to {\hat {\Phi }}}$, ${\displaystyle A_{\mu }\to {\hat {A}}_{\mu }}$; тобто, класичні поля стають квантовими некомутуючими (у загальному випадку) операторами. Відповідно, ${\displaystyle J_{\mu }\to {\hat {J}}_{\mu }}$, і наївний квантовий аналог класичного закону збереження струму має вигляд

${\displaystyle \partial _{\mu }\langle |{\hat {J}}^{\mu }|\rangle =0,\qquad (1)}$

де ${\displaystyle \langle |...|\rangle }$ — квантове середнє.

Така проста картина може порушуватись внаслідок відсутності перестановності полів ${\displaystyle {\hat {\Phi }}}$. А саме, у залежності від того, є поле ${\displaystyle \Phi }$ бозонним чи ферміонним, для операторів ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}}$ народження та знищення, лінійною комбінацією яких є поле ${\displaystyle {\hat {\Phi }}}$ є справедливим комутаційне або антикомутаційне співвідношення типу

${\displaystyle {\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'})\mp {\hat {a}}_{\sigma {'}}^{\dagger }(\mathbf {p} {'}){\hat {a}}_{\sigma }(\mathbf {p} )=\hbar \delta _{\sigma \sigma {'}}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} {'})}$

(тут ${\displaystyle \sigma }$ — дискретне число типу поляризації). Це означає, що квантові оператори полів ${\displaystyle \Phi }$ не є перестановними; зокрема, якщо оператор ${\displaystyle {\hat {\Phi }}}$ є оператором поля діраківського спінору, що представляє частинки типу електронів, справедливою є рівність

${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t){\hat {\Phi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t)+{\hat {\Phi }}_{m'}(\mathbf {r} ',t){\hat {\Phi }}_{m}^{\dagger }(\mathbf {r} ,t)=\hbar \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} {'})}$,

де у правій частині рівності стоїть ${\displaystyle \delta -}$функція Дірака.

Внаслідок цього будь-яка білінійна функція квантових полів є погано визначеною (формально містить нескінченну частину), а отже, погано визначеними стають і оператори струмів[34]. У квантовій теорії поля існує формальна процедура, яка довизначає величини типу білінійних форм так, щоб вони були добре визначеними. Вона включає в себе регуляризацію та перенормування основних величин теорії — (для перенормовних теорій — полів, зарядів та мас . Проте у загальному випадку довільна регуляризація може зруйнувати закон збереження ${\displaystyle \ (1)}$ струму, оскільки вона модифікує дію так, що втрачається властивість інваріантності відносно перетворення симетрії. Якщо регуляризація, що зберігає дану симетрію ${\displaystyle \ G}$, не може бути знайдена і, більше того, закон збереження не відтворюється навіть після виконання процедури перенормування (зняття регуляризації), то струм ${\displaystyle \ {\hat {J}}\equiv {\hat {J}}[{\hat {\Phi }}]}$, що відповідає симетрії ${\displaystyle \ G}$ у квантовій теорії не зберігається[34]:

${\displaystyle \partial _{\mu }\langle |{\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}|\rangle =F^{\text{...}}\neq 0\qquad (2)}$,

(тут три крапки позначають можливі інші векторні індекси). Тоді кажуть, що симетрія, із якою пов'язаний струм ${\displaystyle J}$, є аномальною. Рівняння (2) називається аномальним законом збереження струму ${\displaystyle {\hat {J}}^{\mu {\text{...}}}}$, а функція ${\displaystyle F}$ — функцією аномалії[35]. Еквівалентно, при наявності аномалії даної симетрії порушуються також тотожності Уорда — аналог законів збереження у квантовій теорії на основні об'єкти у КТП: вершинні функції та пропагатори. Поява аномалії у їх координатному представленні означає присутність так званих неконтактних членів, тобто членів, що не обертаються у нуль при обчисленні кореляторів величин (струмів), взятих у різних просторово-часових точках.

Поява ненульової функції аномалії у виразі (2) для закону збереження струму ${\displaystyle G}$ може бути схематично проілюстрована на прикладі використання регуляризації Паулі—Вілларса. Остання модифікує пропагатори теорії, вводячи фіктивні поля ${\displaystyle \kappa }$ із масами ${\displaystyle m_{\kappa }}$. Це призводить до того, що амплітуди у квантовій теорії поля, що були нескінченними до введення регуляризації, виражаються через набір параметрів ${\displaystyle m_{\kappa }}$. Зняття регуляризації здійснюється переходом до ліміту ${\displaystyle m_{\kappa }\to \infty }$. Оператори фізичних величин, на кшталт струму ${\displaystyle {\hat {J}}_{\mu }}$, залежатимуть тепер як від полів ${\displaystyle \Phi }$, так і від фіктивних полів ${\displaystyle \kappa }$[36]:

${\displaystyle {\hat {J}}^{\mu }\left[\Phi \right]\to {\hat {J}}_{\text{reg}}^{\mu }\left[\Phi ,\kappa \right]\equiv {\hat {J}}^{\mu }\left[\Phi \right]-{\hat {J}}^{\mu }\left[\kappa \right]}$

Дивергенція першого доданку дорівнює нулю, проте дивергенція другого доданку у загальному випадку не є нульовою,

${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {J}}_{\text{reg}}^{\mu }=-\partial _{\mu }{\hat {J}}^{\mu }\left[\kappa \right]={\text{F}},}$

і функція аномалії ${\displaystyle F}$ може не обертатися у нуль навіть при знятті регуляризації Паулі—Вілларса.

Існує декілька еквівалентних підходів побудови квантової теорії поля. Історично першим був підхід, заснований на концепції моря Дірака. За ним слідував операторний підхід, а за ним — підхід континуального інтегралу. Аномалія, звісно, може бути описана у кожному із цих підходів.

Зокрема, кіральна аномалія у морі Дірака виникає внаслідок розщеплення рівнів Фермі для безмасових ліво-кіральних та право-кіральних ферміонів при включенні зовнішнього поля, внаслідок чого густина станів для лівих та правих ферміонів моря Дірака змінюється по-різному[37]. Море Дірака еквівалентне вторинному квантуванню, що є основою операторного підходу; у операторному підході кіральна аномалія виникає внаслідок відсутності кірально-інваріантної регуляризації, яка водночас зберігає унітарність[38]. Нарешті, гайзенбергівські функції Гріна у операторному підході, які є основою непертурбативного підходу до квантової теорії поля, еквівалентні континуальному інтегралу; у підході континуального інтегралу аномалія виникає внаслідок неінваріантності міри континуального інтегрування відносно кірального перетворення[25].

Як вже зазначалося вище, формальною причиною появи квантової аномалії є нескінченна кількість ступенів вільності і, як наслідок, необхідність введення регуляризації нескінченностей у квантовій теорії поля. Існує багато видів регуляризації, тому закономірним є питання, чи залежать аномалії від регуляризації, тобто, чи є вони фізичним ефектом, чи лише артефактом, існування якого залежить від виділення конкретної регуляризації. У випадку із кіральною аномалією незалежність від регуляризації є прямим наслідком полюсної структури аномалії та унітарності теорії[39], а у випадку із масштабною аномалією остання принципово виникає при будь-якій схемі регуляризації, що призводить до виникнення розмірного параметру, який порушує масштабну інваріантність (див. нижче підрозділ про розмірнісну трансмутацію)[40].

Приклад діаграми Фейнмана у квантовій теорії поля, яка вимагає регуляризації, що порушує масштабну симетрію, призводячи до масштабної аномалії

Розглянемо класичну теорію із полями ${\displaystyle \Phi (x)}$, яка дається лагранжіаном ${\displaystyle L(\Phi )}$, що залежить лише від безрозмірних параметрів — констант зв'язку ${\displaystyle \alpha }$. Прикладом є лагранжіан квантової хромодинаміки із безмасовими кварками. На класичному рівні теорія є інваріантною відносно неперервних масштабних перетворень

${\displaystyle \Phi (x)\to e^{\sigma \epsilon }\Phi (e^{\epsilon }x)}$,

де ${\displaystyle \epsilon }$ — неперервний параметр перетворення, ${\displaystyle \sigma }$ — канонічна розмірність поля ${\displaystyle \Phi }$ у енергетичних одиницях ${\displaystyle c=\hbar =1}$, яка отримується із канонічного кінетичного члену для ${\displaystyle \Phi }$. Наприклад, канонічна розмірність скалярного поля дорівнює одиниці.

Інваріантність відносно масштабного перетворення, згідно із теоремою Нетер, до існування так званого дилатаційного струму[42]

${\displaystyle \theta _{\mu }=x^{\nu }T_{\mu \nu }}$,

який зберігається:

${\displaystyle \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=0\qquad (3)}$

У квантовій теорії, що дається оператором лагранжіану ${\displaystyle {\hat {L}}({\hat {\Phi }})}$, закон збереження (3) явним чином порушується[27]. Це відбувається внаслідок необхідності регуляризації нескінченностей у квантовій теорії. А саме, будь-яка регуляризація завжди супроводжується введенням фіктивного розмірного параметру масштабу ${\displaystyle \mu }$, від якого починає залежати константа зв'язку ${\displaystyle \alpha }$; окрім того, через взаємодію змінюється канонічна розмірність поля ${\displaystyle \Phi }$ у порівнянні із вільною теорією. У результаті закон збереження (3) порушується. Як і у випадку із кіральними аномаліями, можна уникнути порушення закону збереження дилатаційного струму; у даному випадку ціною за це було б незбереження тензору енергії-імпульсу[43]. Закон збереження (3) у квантовій теорії набуває вигляду

${\displaystyle \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=A[\beta ,\Phi ]}$,

де ${\displaystyle A[\beta ,\Phi ]}$ — функція масштабної аномалії, а ${\displaystyle \beta (g)={\frac {dg_{s}}{d{\text{ln}}(\mu )}}}$ — бета-функція квантової теорії.

Зокрема, у квантовій хромодинаміці із безмасовими кварками модифікований аномалією закон збереження дилатаційного струму має вигляд[9][44]

${\displaystyle \partial _{\mu }\theta ^{\mu }=-{\frac {\beta (g)}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }}$,

де ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$ — тензор напруженості глюонного поля, ${\displaystyle \beta (g)={\frac {dg_{s}}{d{\text{ln}}(\mu )}}}$ — бета-функція КХД. Таким чином, масштабна симетрія у КХД порушується на квантовому рівні.

На відміну від функції кіральної аномалії (див. нижче), яка є точною на рівні однопетльових фейнманівських діаграм, функція ${\displaystyle A_{s}}$ масштабної аномалії є пертурбативною, тобто, в неї дає внесок кожний член ряду теорії збурень. Це пов'язано із пертурбативністю бета-функції теорії[45]. Окрім того, існують спеціальні точки ренормгрупового потоку, у яких бета-функція дорівнює нулю. Такі точки називаються критичними точками. У цих точках квантова теорія може знову стати масштабно-інваріантною[45].

Розглянемо теорію безмасових ферміонів ${\displaystyle \psi }$, що взаємодіють із калібрувальним полем ${\displaystyle A_{\mu }}$. Теорія дається лагранжіаном ${\displaystyle L=L(\Psi ,A_{\mu })}$; прикладом такої теорії є квантова електродинаміка із безмасовим електроном). На класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобального хірального перетворення

${\displaystyle \psi \to e^{i\gamma _{5}\alpha }\psi \qquad (4)}$,

де

${\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ — кіральна матриця, ${\displaystyle \gamma _{\mu },\mu =0,3}$ — матриці Дірака, ${\displaystyle \alpha }$ — у загальному випадку матриця представлення кіральної симетрії, якому належать поля ${\displaystyle \psi }$.

Відповідний класичний нетерівський струм має вигляд

${\displaystyle J_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ,\quad \partial _{\mu }J_{5}^{\mu }=0\qquad (5)}$

У квантовій теорії поля ми маємо справу із регуляризацією. Стоїть питання: чи можна знайти такий тип регуляризації, який зберігає симетрію відносно перетворення (4)? Виявляється, що такої регуляризації не існує. Зокрема[46], регуляризація Паулі-Вілларса явно вводить масові параметри, які порушують кіральну симетрію, у той час як розмірнісна регуляризація, яка заснована на формальній зміні розмірності простору-часу з чотирьох до ${\displaystyle \ d\to 4\pm \epsilon ,\epsilon \to 0}$, модифікує антикомутатор

${\displaystyle [\gamma _{5},\gamma _{\mu }]_{+}=4-d,}$

який у класичній теорії є в точності нульовим, що знову ж таки порушує симетрію лагранжіану відносно кірального перетворення. У результаті закон збереження (5) порушується. Таке порушення називається кіральною аномалією. Кіральна аномалія існує незалежно від вибору регуляризації, оскільки пов'язана із інфрачервоним ефектом — полюсом, який походить із наявності безмасових частинок у спектрі[39].

Трикутна фейнманівська діаграма, що містить абелеву частину кіральної аномалії. Прямі лінії позначають ферміонні струми, а хвилясті лінії — реальні чи фіктивні бозони, що взаємодіють із цими струмами

Розглянемо тепер більш загальну теорію, що містить ферміони, які мають ненульові заряди відносно даної калібрувальної групи ${\displaystyle G}$ (але, можливо, не утворюють деяке представлення цієї групи). Прикладом є Стандартна модель, у якій є кіральна електрослабка підгрупа симетрії ${\displaystyle {\text{SU}}_{L}(2)}$. Розглянемо квантовий корелятор

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu \rho }^{abc}(x,y,z)\equiv \langle 0|{\text{T}}\left({\hat {J}}_{\mu }^{a}(x){\hat {J}}_{\nu }^{b}(y){\hat {J}}_{\rho }^{c}(z)\right)|0\rangle \qquad (6)}$,

де ${\displaystyle {\hat {J}}_{\mu }^{a}}$ — струм, що зберігається,

${\displaystyle {\hat {J}}_{\mu }^{a}=-i{\hat {\bar {\Psi }}}T_{a}\gamma _{\mu }{\hat {\Psi }}}$,

${\displaystyle {\hat {\Psi }}}$ — стовпчик, що об'єднує усі ліві ферміонні поля теорії, ${\displaystyle T_{a}}$ — генератор симетрії.

Похідна ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}}$ від цього корелятора виражає квантовий закон збереження струму ${\displaystyle {\hat {J}}_{\mu }^{a}(x)}$ на рівні трикутних фейнманівських діаграм[38]. Аномалія (її абелева частина) міститься у тій частині корелятора (6), що пропорційна величині

${\displaystyle D_{abc}\equiv {\text{Tr}}[[{\text{T}}_{a}^{\text{L}},{\text{T}}_{b}^{\text{L}}]_{+}{\text{T}}_{c}^{\text{L}}]-{\text{L}}\leftrightarrow {\text{R}},\qquad (7)}$

де ${\displaystyle []_{+}}$ позначає антикомутатор, а ${\displaystyle {\text{L}},{\text{ R}}}$ — приналежність генератора ${\displaystyle {\text{T}}}$ до лівого чи правого представлення групи відповідно.

Є три можливості занулення коефіцієнтів ${\displaystyle D_{abc}}$ [47].

• Перша можливість криється у тому, що генератори ${\displaystyle T_{a},T_{b},T_{c}}$ відповідають дійсному або псевдодійсному представленню деякої групи ${\displaystyle G}$;
• Другою можливістю є те, що поля струмів ${\displaystyle J_{\mu }^{a}}$ реалізують певне (звідне чи незвідне) представлення групи;
• Нарешті, третьою можливістю є те, що заряди полів відносно представлення груп підібрані так, щоб у загальному випадку ненульові коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ прийняли нульове значення.

У залежності від того, якій групі (глобальній чи калібрувальній) належать індекси ${\displaystyle a,b,c}$, розрізняють три типи кіральної аномалії: калібрувальна, аксіальна та внутрішня.

Вираз (6) разом із кореляторами чотирьох та п'яти струмів містить повну інформацію про кіральну аномалію[48].

Якщо індекси ${\displaystyle a,b,c}$ струмів ${\displaystyle J}$ відповідають індексам калібрувальної групи ${\displaystyle G}$ (наприклад, струм ${\displaystyle J_{\mu }^{a}\equiv J_{\mu }}$ — електромагнітний струм тощо), тобто, струми ${\displaystyle J\equiv J_{\text{gauge}}}$ взаємодіють із калібрувальними полями, і величина (7) не дорівнює нулю, то коваріантний закон збереження калібрувальних струмів не виконується:

${\displaystyle \left(D_{\mu }J_{\text{gauge}}^{\mu }\right)_{a}=-{\frac {1}{32\pi ^{2}}}D_{abc}F_{\mu \nu }^{b}{\tilde {F}}_{c}^{\mu \nu },\qquad (8)}$

де ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — тензор напруженості поля ${\displaystyle A_{\mu }}$, ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }}$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння (8) є рівнянням квантової калібрувальної аномалії.

Оскільки калібрувальний струм тепер не зберігається, то калібрувальна інваріантність теорії є порушеною. Це, у свою чергу, призводить до порушення унітарності теорії (збільшується число ступенів вільностей теорії; зокрема, з'являються ступені вільності із від'ємною нормою у гільбертовому просторі), тому будь-яка теорія, яка описує набір ймовірностей фізичних процесів, має бути вільною від калібрувальних аномалій[7].

Як уже зазначалося вище, присутність аномалії не належить від вибору регуляризації. Утім, від вибору конкретної регуляризації може залежати[43][47], для якого струму теорії — глобального чи того, який пов'язаний із калібрувальною симетрією, буде присутня аномалія. Тоді умова унітарності теорії (тобто, вільність калібрувальної групи симетрії від аномалій) однозначно визначає всю довільність у регуляризації.

Умова вільності від калібрувальних аномалій є дуже важливою та має широку прогнозувальну силу. Наприклад, по відношенню до Стандартної моделі вона каже, зокрема, що якщо існує четверте ферміонне (кваркове чи лептонне) покоління, яке має ненульовий заряд електрослабкої підгрупи Стандартної моделі, то мають існувати відповідне ще одне ферміонне покоління для скорочення калібрувальної аномалії. Історично саме умова вільності електрослабкої підгрупи Стандартної моделі від калібрувальних призвела до теоретичного передбачення четвертого невідомого на той час (1971-й рік) ${\displaystyle c}$-кварка[49].

Діаграма Фейнмана розпаду нейтрального пі-мезону на два фотони, який визначає час життя піону. Основний вклад в процес дає кіральна аномалія

Нехай тепер індекс ${\displaystyle a}$ відповідає деякій глобальній групі симетрії ${\displaystyle H}$, а ${\displaystyle b,c}$ — індекси калібрувальної групи ${\displaystyle G}$. Тоді, якщо вдається підібрати регуляризацію так, щоб аномалія порушувала лише глобальну симетрію, маємо аномальний закон збереження лише глобального струму:

${\displaystyle \left(\partial _{\mu }J_{\text{global}}^{\mu }\right)_{a}=-{\frac {g^{2}}{32\pi ^{2}}}D_{abc}F_{\mu \nu }^{b}{\tilde {F}}_{c}^{\mu \nu }\qquad (9)}$,

де ${\displaystyle g}$ — константа взаємодії ферміонів із калібрувальними полями, ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — тензор напруженості поля ${\displaystyle A_{\mu }}$, ${\displaystyle {\tilde {F}}_{\mu \nu }\equiv {\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }}$ — дуальний тензор напруженості.

Рівняння (9) є рівнянням аксіальної аномалії. Вперше її було досліджено у роботах Адлера[10], Белла та Яцківа[11] на прикладі аномального розпаду нейтрального пі-мезону у два фотони (див. розділ нижче).

Аксіальна аномалія призводить до порушень наївних правил відбору, що слідують із квантової механіки при наявності непорушеної симетрії, до зміни дисперсійних співвідношень між енергією та імпульсом, зникнення виродження станів. Вона, проте, не впливає на унітарність теорії[50].

Наприклад, класична глобальна симетрія безмасової хромодинаміки відповідає групі[51]

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}\simeq U_{L}(3)\times U_{R}(3)\simeq G_{\text{global}}\times U_{A}(1),}$

де

${\displaystyle G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)}$

Тут знак «${\displaystyle \simeq }$» позначає ізоморфізм, знак «${\displaystyle \times }$» позначає прямий добуток груп, а індекси ${\displaystyle L/R}$ позначають праве та ліве кваркові представлення групи симетрії; група ${\displaystyle U(3)}$ — неабелева унітарна група, група ${\displaystyle U_{B}(1)}$ — абелева унітарна група симетрії баріонного заряду, а групи ${\displaystyle SU(3)}$ — спеціальні унітарні групи.

Група КХД ${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}}$ має аксіальну аномалію для підгрупи ${\displaystyle U_{A}(1)}$ (докладніше див. у розділі про масу ${\displaystyle \eta {'}}$-мезону). Якщо також врахувати електромагнітну взаємодію, то аксіальною стає одна із внутрішніх аномалій глобальної групи КХД, що призводить до аномального розпаду ${\displaystyle \pi ^{0}}$-мезону на два фотони (див. детальніше розділ нижче).

Розглянемо тепер випадок, коли вираз (6) містить лише струми, які не взаємодіють із калібрувальними полями. У загальному випадку вираз ${\displaystyle D_{abc}}$ є ненульовим. Так відбувається, зокрема, у квантовій хромодинаміці[35].

Дійсно, глобальною непорушеною групою симетрії безмасових ${\displaystyle u-,d-,s-}$кварків у квантовій хромодинаміці є група

${\displaystyle G_{\text{global}}\simeq U_{B}(1)\times SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)}$.

Оскільки ця група є кіральною, то коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ не дорівнюють нулю[22]. Утім, закони збереження відповідних кіральних струмів не порушуються, оскільки вони не взаємодіють із калібрувальними полями.

Ненульові коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ у такому випадку називаються внутрішньою аномалією. Про її роль у теоретичній фізиці див. нижче розділ про умову відтворення аномалій. Внутрішня аномалія також зумовлює аномальні процеси із мезонами типу ${\displaystyle K{\bar {K}}\to 3\pi }$.

Розглянемо ще раз аномальний закон збереження струму:

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }}$,

та проінтегруємо його по 4-простору:

${\displaystyle \int d^{4}x\partial _{\mu }J^{\mu }=\int dt{\frac {dQ}{dt}}=Q(t=\infty )-Q(t=-\infty )={\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }}$.

Тут був використаний закон Гаусса, ${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x} \nabla \cdot \mathbf {J} =0}$, та визначення заряду ${\displaystyle Q}$, що відповідає даному струму:

${\displaystyle Q\equiv \int d^{3}\mathbf {x} J_{0}}$.

Згідно із теоремою Атья-Зінгера про індекси, вираз ${\displaystyle {\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }}$ в точності відповідає різниці числа ферміонних лівих та правих нульових мод[25]. Таким чином, значення цього інтегралу квантуються. Причиною його квантування є топологія[52].

Дійсно, вираз ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }}$ можна представити як повну похідну від струму ${\displaystyle K_{\mu }}$ Черна—Саймонса,

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }K^{\mu }}$.

Інтеграл

${\displaystyle {\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }^{a}{\tilde {F}}_{a}^{\mu \nu }={\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}x\partial _{\mu }K^{\mu }}$

не дорівнює нулю у чотиривимірному просторі-часі лише тоді, коли калібрувальні поля ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$, що відповідають тензору напруженості ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$, спадають на просторовій нескінченності (для зручності обрано калібрування ${\displaystyle A_{0}=0,A_{i}\neq A_{i}(t)}$) як

${\displaystyle A_{i}^{a}(x\to \infty )\to g^{-1}\partial _{i}g,\quad g(\mathbf {r} \to \infty )=1}$,

де ${\displaystyle g}$ — елемент калібрувальної групи ${\displaystyle G}$, приєднаному представленню якої належать калібрувальні поля ${\displaystyle A}$.

Якщо елемент групи ${\displaystyle g}$ можна неперервним чином продеформувати у тривіальний елемент ${\displaystyle g(\mathbf {r} )=1}$, то інтеграл дорівнює нулю. Якщо ж у простору елементів калібрувальної групи ${\displaystyle G}$ є нетривіальна топологія, то неперервно продеформувати ${\displaystyle g}$ у тривіальний елемент не можна, і інтеграл нулю не дорівнює. Це виражається у твердженні не рівності нулю гомотопічної групи ${\displaystyle \pi _{3}(G)}$. Для реалістичних випадків ${\displaystyle G\simeq SU(n)}$ маємо, що

${\displaystyle \ \pi _{3}(SU(n))=Z}$,

У результаті ненульові конфігурації полів ${\displaystyle A}$, для яких дія не дорівнює нулю, характеризуються цілим числом ${\displaystyle N}$, яке визначає приналежність елементу ${\displaystyle g}$ до гомотопічного класу групи ${\displaystyle \pi _{3}(SU(n))}$. Інтеграл же ${\displaystyle {\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}x\partial _{\mu }K^{\mu }}$ для таких конфігурацій (що називаються інстантонами),

${\displaystyle \ {\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}x\partial _{\mu }K^{\mu }={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}\mathbf {r} \epsilon ^{ijk}{\text{Tr}}\left[g\partial _{i}g^{-1}g\partial _{j}g^{-1}g\partial _{k}g^{-1}\right]_{t=\infty }-{\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}\mathbf {r} \epsilon ^{ijk}{\text{Tr}}\left[g\partial _{i}g^{-1}g\partial _{j}g^{-1}g\partial _{k}g^{-1}\right]_{t=-\infty }}$,

збігається із різницею інтегральних інваріантів Маурера—Картана, які для ${\displaystyle \pi _{3}(SU(n))=Z}$ дорівнюють цілому числу:

${\displaystyle \ {\frac {g^{2}}{16\pi ^{2}}}\int d^{4}x\partial _{\mu }K^{\mu }=N(t=\infty )-N(t=-\infty )}$,

що і показує, що проінтегрована функція аномалії топологічно квантується[52].

Розглянемо коротко віттенівську аномалію як приклад аномалії симетрії, що не асоціюється із законом збереження (аномалія Редліха є аналогічною).

Перетворення, що відповідають симетріям, не можна звести до інфінітезимальних. Такими перетвореннями є, наприклад, топологічно нетривіальні калібрувальні перетворення (які існують, наприклад, у випадку із групами ${\displaystyle SU(N)}$), які генеруються елементами ${\displaystyle g}$ калібрувальної групи симетрії ${\displaystyle G}$, що задовольняють двом умовам:

1) на координатній нескінченності виконується умова ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=1}$;

2) елементи групи належать нетривіальному гомотопічному класу гомотопічної групи простору, який є топологічно еквівалентний простору групи ${\displaystyle G}$. Наприклад, у калібрувальній теорії із групою ${\displaystyle G\simeq SU(n)}$, що задана на чотиривимірному псевдоевклідовому просторі-часі ${\displaystyle 3+1}$, груповий простір ${\displaystyle G}$ ізоморфний сфері ${\displaystyle S_{3}}$, і гомотопічна група ${\displaystyle \pi _{3}}$ є нетривіальною: ${\displaystyle \pi _{3}(G)=Z_{n}}$.

Якщо дія ${\displaystyle S}$ теорії із калібрувальною групою ${\displaystyle G}$ змінюється при нетривіальних калібрувальних перетворень на ${\displaystyle \pi (2N+1)}$, де ${\displaystyle N}$ — ціле число, то при цьому сума по неінфінітезимальним калібрувальним перетворенням дає

${\displaystyle \sum _{\text{gauge transformations}}e^{iS}=e^{iS}+e^{i\pi }e^{iS}=0}$,

що робить S-матрицю погано визначеною, а отже, погано визначеною стає і уся квантова теорія. Для гарної визначеності необхідно, щоб дія змінювалася на ${\displaystyle 2\pi N}$. Подібна аномалія була розглянута Віттеном на реалістичному прикладі калібрувальної групи симетрії ${\displaystyle SU(2)}$ у чотиривимірному просторі-часі. Вимога гарної визначеності теорії призводить до обмеження на допустиме число різних ферміонів у теорії[31].

Калібрувальна група ${\displaystyle G}$ Стандартної моделі,

${\displaystyle G_{\text{SM}}\simeq SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1),}$

як унітарної квантової теорії поля, має бути вільною від калібрувальних аномалій. Згідно із розділом про калібрувальну аномалію, це означає, що усі коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ із виразу (8), де ${\displaystyle a,b,c}$ пробігають групові індекси, мають бути рівними нулю. Окрім того, мають бути рівними нулю коефіцієнти ${\displaystyle D_{{\tilde {a}}{\tilde {b}}{\tilde {c}}}}$, де ${\displaystyle {\tilde {a}},{\tilde {b}},{\tilde {c}}}$ пробігають групові індекси Стандартної моделі та групи ${\displaystyle {\text{Grav}}}$ гравітаційної взаємодії (всі поля знаходяться у одиничному представленні).

Представлення калібрувальної групи Стандартної моделі не є, власне кажучи, дійсним чи псевдодійсним, і ферміонні поля не реалізовують представлення одразу усієї групи (а лише підгруп). Тому, відповідно до розділу про кіральну аномалію, Стандартна модель може бути вільною від калібрувальних аномалій лише тоді, коли заряди ферміонних полів підібрані спеціальним чином.

Позначивши груповий індекс ${\displaystyle a}$, що належить підгрупі ${\displaystyle H}$ Стандартної моделі, через ${\displaystyle H}$, маємо, що єдиними можливими аномаліями є[47]

${\displaystyle U_{Y}(1)^{3},\quad SU(3)^{2}U_{Y},\quad SU(2)^{2}U_{Y},\quad U_{Y}{\text{Grav}}^{2}\qquad (10)}$

Виявляється, що відповідні аномальні коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ принципово не можуть бути рівними нулю, якщо розглядати лише лептони у теорії (або лише кварки), або якщо розглядати число поколінь лептонів, не рівне числу поколінь кварків.

Відповідно, якщо буде знайдене четверте лептонне покоління, це негайно ж призведе до висновку про існування четвертого покоління кварків.

Розглянемо умови рівності нулю коефіцієнтів ${\displaystyle D_{abc}}$, що задані співвідношенням (10). Вони дають[47] чотири співвідношення на заряди частинок — лептонів та кварків:

${\displaystyle \ (2Y_{L}^{3}-Y_{l}^{3}-Y_{\nu }^{3})+3(2Y_{Q}^{3}-Y_{u}^{3}-Y_{d}^{3})=0,}$

${\displaystyle \ 2Y_{Q}-Y_{u}-Y_{d}=0,}$

${\displaystyle \ Y_{L}+3Y_{Q}=0,}$

${\displaystyle \ (2Y_{L}-Y_{l}-Y_{\nu })+3(2Y_{Q}-Y_{u}-Y_{d})=0}$.

Тут ${\displaystyle Y}$ — гіперзаряд, ${\displaystyle Q}$ — ліві ${\displaystyle SU_{L}(2)}$ дублети кварків, ${\displaystyle L}$ — ліві дублети лептонів, ${\displaystyle l,\nu }$ — праві синглети лептонів (праве нейтрино — якщо існує), ${\displaystyle u,d}$ — синглети відповідно верхніх та нижніх кварків. Гіперзаряди є лінійними функціями електричних зарядів, тому ці співвідношення накладають обмеження на електричні заряди.

Третя із цих рівностей для ${\displaystyle L={\begin{pmatrix}e\\\nu _{e}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \ Q={\begin{pmatrix}u\\d\end{pmatrix}}}$ показує, що електрон має мати в точності такий же по модулю, але протилежний за знаком електричний заряд, як і у протона (який складається із двох ${\displaystyle u}$-кварків та одного ${\displaystyle d}$-кварку).

Оскільки, грубо кажучи, уся матерія складається із електронів, протонів та нейтральних нейтронів, це пояснює експериментально спостережуване квантування заряду у термінах заряду електрону[53].

У Стандартній моделі існують також глобальні неперервні групи симетрії. Зокрема, існують точні на класичному рівні так звані[54] випадкові симетрії, що відповідають збереженню баріонного та лептонних чисел. Вони відповідають групам

${\displaystyle G_{\text{lepton}}\simeq U_{e}(1)\times U_{\mu }(1)\times U_{\tau }(1),\quad G_{\text{baryon}}\simeq U_{B}(1)}$

відповідно (тут ${\displaystyle e,\mu ,\tau }$ — лептони). Ці групи симетрії — некіральні, тому, здавалося б, квантова аномалія не може порушувати їх. Проте ферміони, які несуть баріонні та лептонні заряди, несуть також заряди калібрувальної кіральної групи ${\displaystyle SU_{L}(2)}$ Стандартної моделі. Внаслідок цього коефіцієнт ${\displaystyle D_{abc}}$, де індекс ${\displaystyle a}$ відповідає групам ${\displaystyle G_{\text{lepton}}}$ чи ${\displaystyle G_{\text{baryon}}}$, а індекси ${\displaystyle b,c}$ — групі ${\displaystyle SU_{L}(2)}$. Внаслідок цього є справедливими такі рівняння аксіальної аномалії[21]:

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{B}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu },\quad \sum _{l=e,\mu ,\tau }\partial _{\mu }J_{l}^{\mu }={\frac {3g_{\text{weak}}^{2}}{16\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }\qquad (11)}$,

де ${\displaystyle F}$ — тензор напруженості полів групи ${\displaystyle SU_{L}(2)}$.

В силу теореми про індекси, проінтегрована по 4-простору ліва частина цієї рівності, що відповідає різниці баріонних зарядів у далекому минулому та далекому майбутньому, відповідає також різниці лівих та правих нульових ферміонних мод оператору аномалії у правій частині[25]. Рівність проінтегрованої правої частини цілому числу ${\displaystyle n}$, як вже зазначалося вище, відповідає нетривіальній гомотопічній групі ${\displaystyle \pi _{3}(SU(N))}$ полів Янга-Міллса (в інтеграл вносять ненульовий внесок лише інстантоноподібні конфігурації). У результаті, проінтегрований закон (11) має вигляд

${\displaystyle \Delta Q_{B}=3n,\quad \sum _{l}\Delta Q_{l}=3n,\quad \Delta Q\equiv Q(t=\infty )-Q(t=-\infty )}$,

де ${\displaystyle Q_{B},Q_{l}}$ — баріонний та лептонні заряди відповідно. Отже, баріонний та лептонний заряди не зберігаються у Стандартній моделі.

Таке незбереження баріонного та лептонного числа роблять[55] принципово можливим баріогенезис та лептогенезис у рамках Стандартній моделі для раннього Всесвіту.

Як описувалось вище, внаслідок регуляризації у квантовій теорії поля виникає додатковий аномальний внесок у закон збереження дилатаційного струму. Відповідний внесок виникає внаслідок залежності параметрів квантової теорії — констант зв'язку — від масштабного фактору ${\displaystyle \mu }$. Умова незалежності фізичних величин, які у квантовій теорії є функціями від констант зв'язку ${\displaystyle \alpha }$ та (явно) від масштабу ${\displaystyle \mu }$, від цього масштабу може бути сформульована у вигляді рівнянь ренормгрупи.

Зокрема, умовою на константу зв'язку є таке ренормгрупове рівняння[56]

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{d{\text{ln}}(\mu )}}=\beta (\alpha ),}$

де ${\displaystyle \beta (\alpha (\mu ))}$ — вже згадувана бета-функція теорії.

Його розв'язком ${\displaystyle \alpha =\alpha (\mu )}$ є те, що називають біжучою константою зв'язку.

Дане рівняння можна переписати у еквівалентному вигляді

${\displaystyle {\text{ln}}\left({\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right)=S(\alpha (\mu ))-S(\alpha (\mu _{0}))}$,

де

${\displaystyle \ S(\alpha (\mu ))\equiv \int {\frac {d\mu }{\beta (\mu )}}}$.

Вираз залежить від константи інтегрування ${\displaystyle \mu _{0}}$. Обираючи цю константу ${\displaystyle \mu _{0}=\Lambda }$ такою, щоб ${\displaystyle S(\alpha (\Lambda ))=0}$, рівність можна записати у вигляді

${\displaystyle \alpha (\mu )=S^{-1}\left[{\text{ln}}{\frac {\mu }{\Lambda }}\right]\approx -{\frac {\pi }{|b_{1}|{\text{ln}}\left({\frac {\mu }{\Lambda }}\right)}},}$

де було використане головне наближення для бета-функції (детальніше про це наближення написано у джерелі[57]:

${\displaystyle \beta (\alpha )=\sum _{n}{\frac {\alpha (\mu )^{n+1}b_{n}}{\pi ^{n}}}\approx {\frac {\alpha ^{2}(\mu )b_{1}}{\pi }}}$

(така поведінка ренорм-групового потоку є типовою для усіх реалістичних теорій). Звідси видно, що при ${\displaystyle \mu =\Lambda }$

${\displaystyle \alpha (\Lambda )=\infty ,}$

тобто, масштаб ${\displaystyle \Lambda }$ має зміст шкали конфайнменту[8]. Обертаючи залежність ${\displaystyle \alpha =\alpha (\Lambda )}$, можна записати ${\displaystyle \Lambda }$ у термінах ${\displaystyle \mu ,\alpha (\mu )}$ як

${\displaystyle \Lambda =\mu e^{-{\frac {\pi }{|b_{1}|g(\mu )}}}}$.

Цей масштаб за побудовою не залежить від ${\displaystyle \mu }$. Відповідно, маємо зв'язок безрозмірної константи зв'язку та розмірної величини ${\displaystyle \Lambda }$, і теорію збурень по константі ${\displaystyle g}$ тепер можна еквівалентно переписати у термінах розкладу по розмірній величині (а точніше, по степеням ${\displaystyle {\frac {k}{\Lambda }}}$, де ${\displaystyle k}$ — імпульс). Вказане явище називається розмірнісною трансмутацією. Не маючи у масштабно-інваріантних на класичному рівні теоріях розмірної константи, а отже — і виділеного масштабу, ми у процесі динаміки теорії генеруємо її внаслідок існування масштабної аномалії. Нижче за такий масштаб теорія описується принципово інакшим чином.

Зокрема, у квантовій хромодинаміці масштаб ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{QCD}\sim 1}$ ГеВ, і ефективна теорія поля, що побудована для ступенів вільності, існуючих нижче за цю шкалу, описується пертурбативним розкладом по цьому масштабу.

Ще одним тісно пов'язаним із масштабною аномалією питанням є набуття адронами великої маси[9].

Дійсно, розглянемо КХД нижче за шкалу спонтанного порушення симетрії. Кварки адронізуються, і виникають, зокрема, адронні зв'язані стани ${\displaystyle H}$. Матричний елемент ${\displaystyle \langle H|T^{\mu \nu }|H\rangle }$ тензору енергії-імпульсу ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ при малих імпульсах ${\displaystyle k^{\mu }}$ адрону має вигляд

${\displaystyle \tau ^{\mu \nu }=\lim _{k\to 0}\langle H|T^{\mu \nu }|H\rangle \sim k^{\mu }k^{\nu }}$.

Cлід тензора енергії-імпульсу із врахуванням масштабної аномалії дорівнює

${\displaystyle \ T_{\mu }^{\mu }=m_{u}{\bar {u}}u+m_{d}{\bar {d}}d+m_{s}{\bar {s}}s+{\frac {\beta (g_{s})}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu },}$

де ${\displaystyle u,d,s}$ — поля відповідних кварків, а ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$ — тензор напруженості глюонного поля.

Квадрат маси адрону ${\displaystyle m_{H}^{2}}$ визначається як слід ${\displaystyle \tau \equiv \tau _{\mu }^{\mu }}$:

${\displaystyle m_{H}^{2}\sim \lim _{k\to 0}\langle N(k)|m_{u}{\bar {u}}u+m_{d}{\bar {d}}d+m_{s}{\bar {s}}s+{\frac {\beta (g_{s})}{2g_{s}}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }|N(k)\rangle }$

Перші три доданки дають внесок у масу значно менший, ніж останній, аномальний, доданок. Він дає аж до 90 % маси адронів, а отже, і усієї звичайної матерії.

Розглянемо тепер теорію із ферміонами ${\displaystyle \psi }$, яка має непорушену калібрувальну симетрію ${\displaystyle G_{\text{gauge}}}$ та глобальну симетрію ${\displaystyle G_{\text{global}}}$, яка є аномальною у сенсі наявності ненульових коефіцієнтів ${\displaystyle D_{abc}}$ з виразу (7); індекси ${\displaystyle a,b,c}$ належать лише ${\displaystyle G_{\text{global}}}$, тобто, є внутрішня аномалія. Прикладом є квантова хромодинаміка із безмасовими кварками (їх маси можуть бути враховані як малі збурення), що має глобальну групу симетрії

${\displaystyle G_{\text{global}}\simeq U_{B}(1)\times SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)}$.

Як було написано вище, коефіцієнти ${\displaystyle D_{abc}}$ можна зробити нульовими, ввівши у теорію фіктивні ферміони-спостерігачі ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$, які мають ненульові заряди відносно групи ${\displaystyle G_{\text{global}}}$. Модифікована теорія тепер не містить внутрішню аномалію, і група ${\displaystyle G_{\text{global}}}$ може бути зроблена локальною (введенням калібрувальних полів, які відповідають приєднаному представленню групи ${\displaystyle G_{\text{global}}}$). Константу взаємодії можна обрати як завгодно малою, щоб калібрування не впливало на динаміку початкової теорії.

Нехай тепер через динаміку початкової теорії (за участі калібрувальної групи ${\displaystyle G_{\text{gauge}}}$) відбувається конфайнмент, тобто, усі ферміони ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$, а також — калібрувальні поля групи ${\displaystyle G_{\text{gauge}}}$ починають існувати лише у вигляді зв'язаних станів. Замість початкових ферміонів та калібрувальних полів ми тепер оперуємо цими зв'язаними станами. Прокалібрована група ${\displaystyle G_{\text{global}}}$ має залишатися, утім, вільною від аномалій, оскільки унітарність не має залежати від масштабу теорії. Це означає, що зв'язані стани мають генерувати такий же самий вклад у коефіцієнт ${\displaystyle D_{abc}}$, як генерували початкові ферміони ${\displaystyle \psi }$ теорії, оскільки ферміони-спостерігачі, в силу відсутності зарядів ${\displaystyle G_{\text{gauge}}}$, вносять фіксований вклад у ${\displaystyle D_{abc}}$. Тобто, має виконуватися рівність

${\displaystyle \ D_{abc}^{\psi }=D_{abc}^{\text{bound states}},\qquad (12)}$

де ${\displaystyle D_{abc}^{\text{bound states}}}$ — аномальний коефіцієнт, що генерується зв'язаними станами. Оскільки вищенаведені міркування ніяк не залежали від величини константи зв'язку прокаліброваної групи ${\displaystyle G_{\text{global}}}$, цю константу можна просто покласти рівною нулю. Вираз (12) є умовою відтворення аномалій 'т Хоофта[22].

Розглянуту вище конструкцію елементарно узагальнити на випадок довільної ефективної теорії поля. Роль шкали грає шкала ${\displaystyle \Lambda }$, нижче за яку у дії фундаментальної теорії ${\displaystyle S[\psi _{l},\psi _{h}]}$ із полями ${\displaystyle \psi _{l},\psi _{h}}$, що залишаються нижче за шкалу ${\displaystyle \Lambda }$ та відинтегровуються нижче за шкалу ${\displaystyle \Lambda }$ відповідно, ${\displaystyle m_{l}<<\Lambda ,m_{h}>>\Lambda }$. Ефективна дія ${\displaystyle S_{eff}[\psi _{l},\kappa ]}$ (тут ${\displaystyle \kappa }$ — можливі зв'язані стани із полями ${\displaystyle \psi _{h}}$ та ${\displaystyle \psi _{l}}$), що описує теорію на масштабах ${\displaystyle <\Lambda }$, має містити ту ж інформацію про аномалії, що і фундаментальна дія ${\displaystyle S}$. Тобто, якщо варіація ${\displaystyle \delta _{H}S}$ відносно перетворень групи ${\displaystyle G}$ дії ${\displaystyle S}$ є аномальною із функцією аномалії ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \delta _{H}S=A[\psi _{l}],}$

то варіація ефективної дії ${\displaystyle S_{eff}}$ має також давати ту саму функцію аномалії:

${\displaystyle \delta _{H}S_{eff}=A[\psi _{l}]}$

Виявляється, умова відтворення аномалій має наслідком[22] спонтанне порушення кіральної групи симетрії у квантовій хромодинаміці. Дійсно, умова (12) говорить, що зв'язані стани нижче за шкалу конфайнменту мають відтворювати аномалії глобальної групи симетрії

${\displaystyle G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)}$.

У кіральну аномалію вносять внесок лише безмасові стани; отже, лише безмасові стани можуть давати внесок у коефіцієнт аномалії ${\displaystyle D_{abc}^{\text{bound states}}}$ з (12). Ці стани, на перший погляд, можуть мати довільну спіральність. Проте існують обмеження. Існування станів зі спіральністю, більшою за одиницю (у одиницях ${\displaystyle \hbar =1}$), неможливе внаслідок теореми Вайнберга-Віттена. Стани ${\displaystyle s}$ спіральності ${\displaystyle 1}$ також не можуть існувати, оскільки матричний елемент ${\displaystyle \langle s|j_{5}^{\mu }|0\rangle }$, де ${\displaystyle j_{5}^{\mu }}$ — кіральний струм, не є лоренц-коваріантним. Отже, залишаються лише ферміонні зв'язані стани та стани нульової спіральності; останні можуть існувати у теорії лише за умови спонтанного порушення симетрії.

Будуючи із групових міркувань представлення ферміонних зв'язаних станів, можна показати, що для калібрувальної групи КХД ${\displaystyle SU_{c}(3)}$ не існує станів спіральності ${\displaystyle 1/2}$, які могли б задовольнити умові (12). Отже, явище конфайнменту у КХД із необхідністю має наслідком явище спонтанного порушення симетрії. У результаті виникають голдстоунівські (псевдоголдстоунівські) бозони — псевдоскалярні мезони.

Як було зазначено вище, на класичному рівні глобальною групою симетрії безмасової квантової хромодинаміки є

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}\simeq U_{A}(1)\times G_{\text{global}},}$

де

${\displaystyle G_{\text{global}}\simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)}$

Із умови відтворення аномалій слідує, що має відбуватися спонтанне порушення симетрії цієї групи. Експеримент каже[58][59], що якщо група ${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}}$ є точною у ліміті нульових мас кварків, то має бути спонтанне порушення симетрії

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}\to U_{V}(3),}$

де ${\displaystyle U_{V}(3)}$ — діагональна підгрупа групи ${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{global}}}$.

З іншого боку, згідно із теоремою Голдстоуна це має наслідком існування дев'яти безмасових частинок (число дев'ять дорівнює кількості порушених генераторів); при врахуванні ненульових малих мас кварків (тобто, наближеності кіральної групи симетрії КХД) ці дев'ять частинок набувають маси, що виражаються у термінах кваркових мас та вакуумного середнього кваркового конденсату.

Проте спостерігається лише вісім частинок із масами, що передбачаються кіральною ефективною теорією поля. Частинка-кандидат на роль дев'ятого бозону, ${\displaystyle \eta {'}}$-мезон, значно важчий за інші мезони, маючи масу, що не може бути отримана із припущення про спонтанне порушення наближеної симетрії[58], що вказує на те, що підгрупа ${\displaystyle U_{A}(1)}$ має бути явно порушена навіть у ліміті нульових мас кварків.

Рішенням цієї проблеми, яка має назву проблеми ${\displaystyle U(1)}$[58], є аномалія, яка порушує закон збереження струму ${\displaystyle U_{A}(1)}$. А саме[60], внаслідок аномального закону збереження струму групи ${\displaystyle U_{A}(1)}$,

${\displaystyle \ \partial _{\mu }J_{A}^{\mu }={\frac {\alpha }{8\pi }}F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }}$,

внесок у масу відповідного псевдоголдстоунівського бозону, ${\displaystyle \eta {'}}$-мезону[61],

${\displaystyle \ (\Delta m_{\eta {\text{'}}}^{\text{anomaly}})^{2}=-{\frac {1}{f_{\pi }^{2}}}i\lim _{k\to 0}k_{\mu }k_{\nu }\int d^{4}xe^{ikx}\langle |T\left({\hat {K}}^{\mu }(x){\hat {K}}^{\nu }(0)\right)|\rangle ={\frac {1}{f_{\pi }^{2}}}{\frac {m_{u}m_{d}m_{s}}{m_{u}m_{d}+m_{u}m_{s}+m_{d}m_{s}}}\langle |{\bar {u}}u|\rangle }$,

де ${\displaystyle u}$ — поле ${\displaystyle u}$-кварку. Цей внесок набагато перевершує внесок у масу ${\displaystyle \eta {'}}$-мезону внаслідок ненульової маси кварків, і ${\displaystyle \eta {'}}$-мезон набуває внаслідок цього дуже великої маси, значно більшу за масу інших восьми псевдоголдстоунівських бозонів[51].

Розв'язуючи проблему ${\displaystyle U(1)}$, кіральна аномалія призводить до іншої проблеми, що називається сильною СР-проблемою. А саме, у дії квантової хромодинаміки можна записати член (його ще називають тета-членом)