SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група або — це група дійсних матриць, з детермінантом :

Група (математика)
Теорія груп

Це зв'язана некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ( спеціальна проєктивна група над ). Більш конкретно,

,

де одинична матриця. Вона містить модулярну групу .

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група , або метаплектична група (вважаючи симплектичною групою).

Інша пов'язана група це , група дійсних матриць з детермінантом ; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

Опис

це група всіх лінійних перетворень у , яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі і спеціальній унітарній групі .Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа допускає декілька цікавих означень:

Елементи модулярної групи мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи .

Проєктивні перетворення

Елементи є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій :

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи , яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то описує гіперболічні рухи.

Перетворення Мебіуса

Елементи групи діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки[1] з геометрією Лобачевського.

Приєднане представлення

Група діє на свою алгебру Лі шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи . Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у . Як результат матимемо наступне представлення:

.

Форма Кіллінга алгебри має сигнатуру і встановлює ізоморфізм між групою і групою Лоренца . Така дія групи на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Класифікація елементів

Власні значення елемента задовольняють характеристичний многочлен

,

звідси

.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

  • Якщо , то називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
  • Якщо , то називається параболічним і є відображенням зсуву.
  • Якщо , то називається гіперболічним і є відображенням стискання.

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти , як і при роботі з групою ), тоді це приводить до наступних випадків: , еліптичний; , параболічний; , гіперболічний.

Одиничний елемент і від'ємний одиничний елемент (у випадку групи вони співпадають) мають слід , і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп і (дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою, гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т.п.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на ), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи ) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи ), у той час як параболічні елементи (включаючи ) є замкненими множинами.

Еліптичні елементи

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення , де це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями і є спряженими до поворотів на , а також є квадратами до : вони є нетотожними інволюціями у групі .

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу ; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі , але не у групі .)

Див. також

Примітки

  1. Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi:10.1142/p835. ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041.

Література

  • Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics. — 1947. — Т. 48, вип. 3. — С. 568–640. DOI:10.2307/1969129. JSTOR 1969129.
  • Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Унитарные представления группы Лоренца // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1947. — Т. 11, вип. 5. — С. 411–504.
  • Harish-Chandra. Plancherel formula for the real unimodular group // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1952. — Т. 38. — С. 337–342. DOI:10.1073/pnas.38.4.337. PubMed.
  • Ленг С.  / Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова. — Москва, 1977.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.